高级数理逻辑第4讲分析Word文档格式.docx
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个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。
P(x)
●函词:
个体上可以进行运算,能够产生新的个体。
这些运算被称为函数,在一阶谓词里被称为的函词(函数)。
F(x,y)=x*y
●谓词:
我们在研究个体的时候,主要研究个体的性质。
这些有关个体性质的描述称为谓词。
Q(y),P(x,y):
:
x<
y
●量词:
关于个体性质,不一定是对全体的个体的都成立。
有的对一个范围内成立,有离散的几个个体成立,有的对全部都成立。
为了描述这种范围特征,一阶谓词引入了量词。
2、谓词和函词
●谓词定义:
谓词表示个体性质和关系的语言成分。
它附带放置对象的空位,只有空位被填充对象,谓词才有意义。
没有被填充对象的谓词,称为谓词命名式;
相反为谓词填式。
谓词后面的空位个数为谓词的元数。
谓词是一个体域上的n元关系。
通常P(x,y,z)=0,1,表示x,y之间具有关系P(1,2)。
●函词定义:
函词是表示某种操作的语言成份。
用于在给定的个体基础上,产生新的个体对象。
与谓词一样,函词具有空位的概念。
函词后面空位的个数为函词的元数。
通常用F(x,y,z)=x+y+z表示。
3、变元和常元
●常元:
常元表示个体域中的一个确定个体。
如:
5,ZhangSan等。
●变元:
变元可以用来表示个体域上的任意个体,是不确定的。
例如:
(1)z+y=0P(f(y,z))二元谓词表示方程
P(f(x,z))==;
P(f(-3,2))
-3+2=0
Z+y=x+y=0
(2)对所有z,x,y•x=x•yQ(x*Z,Z*x)二元谓词表示乘法交换率
Q(x,z)=1
3*2=2*3
Q(f(x,y),f(y,x))=
Q(f(1,2),f(2,1))=1
从这个例子来看,变元是具有不同的性质的。
因此,在一阶谓词逻辑中将变元划分成自由变元和约束变元。
f(x)+x+z=0
对于所有的X,Y,P(x,y)<
=P(X,Y)
●自由变元:
自由变元是真正的变元,可以将个体域中的任意个体代入到自由变元中。
类似于数学中的变元。
●约束变元:
约束变元并不是实际意义的变元(数学意义上的变元)。
约束变元是为表达某种想的辅助符号。
●自由变元与约束变元的对比:
自由变元约束变元
可代入不可代入
不可改名可改名
举例说明:
采用上例。
4、量词
我们引入了谓词、函词、变元和常元的概念,还不能充分的描述现实中的命题。
例如对于下面的命题:
如果P(x)对任意x恒真,则P(x+1)恒真。
我们现在表示,只能用P(x)
P(x+1),来表示。
而这种表示方法没有确定的含义,例如可以认为P(x)是存在一个x的值是P(x)成立。
为了描述这些谓词的成立范围,一阶谓词逻辑引入了量词的概念。
xQ(X2)=~
~Q(X2)
Q(X,100000)=~
x~Q(X,100000)
~
xQ(X,100000)=
~Q(X,100000)
z
y(Q(z*y,y*z))
xP(x)
yP(y+1);
P大于0,x论域是自然数,
xP(x)à
yP(y+1)
x
y(P(x)à
P(y+1))
x(P(x)
P(x+1));
P大于0,x论域是实数
●全称量词:
中的
称为全称量词,
中的x称为
的指导变元;
称为量词的辖域。
(A(x))-->
B(x)
●存在量词:
称为存在量词,
(Aà
B)à
C
==x=1,A
(1)à
B
(1)
A
(1)à
Aà
B
A(1,…)=1
●指导变元是约束变元。
●量词等价公式:
1.
xA(x)╞│
{1,2,3}===~(~(A
(1)^A
(2)^A(3)))=1P(x,y)
Y=1,x=1,x=2,x=3,P(x,y)=1===P(1,1),P(2,1),P(3,1)=1
X=1,y=1,P(1,1)=1P(1,2)=0,P(1,3)=0
X=2,y=2P(2,2)=1,P(2,1)=P(2,3)=0
X=3,y=3,P(3,1)=P(3,2)=0,P(3,3)=1
;
\
~(~A
(1)v~A
(2)v~A(3))=~~A
(1)&
~~A
(2)&
~~A(3)
2.
╞│
3.
╞│
4.
5.
╞│
6.
(x,y)f(x)
(x,y)
(A(x)à
A(x+z))
A(x)à
A(x+z)
xA(x)V
xB(x)=
x(A(x)VB(x);
A
(1)^A
(2)^A(3)B
(1)^B
(2)^B(3)
A
(1),B
(1);
B
(2),A
(2);
A(3),B(3)
====
y(A(x)VB(y))=
x(A(x)VB(x))
5、用一阶谓词逻辑描述问题:
所有实数的平方是非负的
是实数
的平方是非负的
一阶谓词的表示:
4.2一阶形式系统(FSFC)
回顾形式系统的构成,主要有语言部分和推理部分构成。
语言部分是一阶语言。
4.2.1一阶语言
一阶语言可以从以下几个方面定义:
符号表、项集、公式集等三个部分。
1、符号表
●个体变元符号:
x,y……
●个体常元符号:
●函词符号:
(一元函词)
(n元函词)
●谓词符号:
(一元谓词)
(n元谓词)
●联结词:
●技术符:
2、项:
谓词所讨论的对象。
项是递归定义的集合,其定义如下:
(1)变元和常元交项;
(2)对于任意正整数n和函数
,如果
为项
那么
为项;
(3)除有限次使用
(1)
(2)得到外,没有任何项。
{a,x,f()}={a,x,fn(a),fn(x)}
由定义可知,项集是递归定义的、是可判定的。
3、公式集:
公式由以下递归定义:
(1)对于任意正整数n,如果
为项,那称
为公式,并为原子公式;
(2)如果A,B为公式,那么
,
公式;
(3)公式都是有限次使用
(1)
(2)得到的,除此之外无其他公式。
4.2.2一阶语言性质
●闭项:
不含自由变元的项
,
●闭公式:
不含自由变元的公式
P(a,b)
y(P(a,y)à
B(y))=
x((P(a,x))->
B(x))
y(P(a,y)->
B(y))=
x(P(a,x)->
B(y))
A(x)=1,0;
xA(x);
●辖域:
公式A称为量词
的辖域,如果
与A相邻,且A的任何真截断不是公式
●约束出现:
在公式A中,变元x的某个出现叫做约束出现,如果x为
(x)的指导变元或在
x,
x的辖域内。
否则为自由出现
=VyP(y)à
~P2(x1)
x1为约束出现,x2为自由出现
●可代入性:
称项t是对A中自由变元x可代入的;
如果A中项x的任何自由出现都不在
的辖域内,这里y是t中的任意自由变元。
y
zP(x,z)
yP(x,f+1)
yA(x,y)t=y+1;
yP(x+1,z)
P(5,6)
t=y+1
yP(y+1,z)
t=(x1+z)A=
yP(x1+z,z)
y=x+a=t不可代入,y=z+a为可代入的。
●代入:
将公式A中变元x的所有自由出现代换为项t的过程称为代入,代入后所得公式称A的实例。
将项x+a代入到公式
中的y得到:
P(x,y,z)à
Q(x)
(y+1)/x,P(y+1,y,z)à
Q(y+1)P(y+1,z+1,z)à
Q(y+1)
(z+1)/y,P(z+2,z+1,z)à
Q(z+2)P(x,z+1,z)à
P(y+1,z+1,z)à
Q(y+!
)
yP(x,z)
yP(z+1,z):
yP(y+x+1,y+x)
yP(z+1,y+x)
{(z+1)/x,(y+x)/z}
我们用记号
表示对A中变元
,同时作代入,
代换为项
…
。
这与下面的逐步代入是不同的:
xP(x,y,z)====
Y=z+1,z=y1+1
xP(x,z+1,y1+1)
xP(x,z+1,z),
xP(x,y1+2,y1+1)
Y=y1+2;
z=y1+1
例:
设公式A为
可以写为
,那么v2à
v1,v3à
v2
P(v1,v2)==P(v2,v2)==P(v3,v3)
P(v2,v3)
P(V1,V2)-----P(v2,v2)----P(v3,v3)
P(v1,v2);
P(v2,v2);
P(v3,v3)
P(v1,v2)=P(v2,v2)=P(v3,v3)
P(v1,v2)=(v2,v3)
可代入性保证了代入过程中变项的约束关系不发生改变,即原来约束的代入后仍旧是约束的;
原来自由的代入后仍旧是自由的。
●子公式:
称公式B为A的子公式,如果A为形如
的符号串,其中B为公式。
当
有一个非空时,称为真子公式。
●改名:
任何约束变元可改名,公式A中变元x为约束出现,将x改为其它变元,是合理的
=P1(x)à
VyP2(y)
xA(x)-->
A(x)
两式等价。
●公式性质和项的性质(递归集合),可以用归纳证明(根据公式和项定义过程来证明)。
●设
为公式A中所有的自由变元,那么公式
称为公式A的全称化(generalizations),其中
公式
称为公式A的全称封闭式。
当A中无自由变元时,A的全称封闭式是A本身。
4.2.3推理部分
推理部分包含:
公理集合和推理规则集合。
1、公理集合
A1
A2
A3
A4
(t对于A中的变元x是可代入的,将t代入A中的x)
A5
A6
(x在A中无自由出现==无出现)
2、推理规则
分离规则
4.2.4推理性质
●A1-A3为FSPC中的公理
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