小学奥数平面几何五种面积模型等积鸟头蝶形相似共边汇总Word下载.docx

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上），

则

图

图

三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）：

①

或者

②

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；

另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：

③

的对应份数为

四、相似模型

（一）金字塔模型

（二）沙漏模型

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：

三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在三角形

，

相交于同一点

，那么

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为

和

的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

典型例题

【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，

1.5，

2．长方形EFGH的面积为．

【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

所以长方形EFGH面积为33．

【巩固】如图所示，正方形

的边长为

厘米，长方形

的长

为

厘米，那么长方形的宽为几厘米？

【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：

连接

．（我们通过

把这两个长方形和正方形联系在一起）．

∵在正方形

边上的高，

∴

（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）

同理，

∴正方形

与长方形

面积相等．长方形的宽

（厘米）．

【例2】长方形

的面积为36

、

为各边中点，

边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

【解析】解法一：

寻找可利用的条件，连接

，如下图：

可得：

，而

即

而

所以阴影部分的面积是：

解法二：

特殊点法．找

的特殊点，把

点与

点重合，

那么图形就可变成右图：

这样阴影部分的面积就是

的面积，根据鸟头定理，则有：

【巩固】在边长为6厘米的正方形

内任取一点

，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与

点连接,求阴影部分面积．

【解析】（法1）特殊点法．由于

是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设

点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的

，所以阴影部分的面积为

平方厘米．

（法2）连接

由于

与

的面积之和等于正方形

面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形

面积的

，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形

【例3】如图所示，长方形

内的阴影部分的面积之和为70，

，四边形

的面积为．

【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形

和四边形

的面积之和，以及三角形

的面积之和，进而求出四边形

的面积．

由于长方形

的面积为

，所以三角形

的面积之和为

又三角形

，所以四边形

另解：

从整体上来看，四边形

的面积

三角形

面积

白色部分的面积，而三角形

面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即

，所以四边形的面积为

【巩固】如图，长方形

的面积是36，

是

的三等分点，

，则阴影部分的面积为．

【解析】如图，连接

根据蝶形定理，

，所以

又

，所以阴影部分面积为：

【例4】已知

为等边三角形，面积为400，

分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．（丙是三角形

）

【解析】因为

分别为三边的中点，所以

是三角形

的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形

和三角形

的面积都等于三角形

的一半，即为200．

根据图形的容斥关系，有

即

【例5】如图，已知

，线段

将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形

的面积是．

【解析】连接

根据题意可知，

所以，

于是：

可得

．故三角形

的面积是40．

【例6】如图在

上的点，且

平方厘米，求

，设

份，则

份，

平方厘米，所以

份是

平方厘米，

份就是

的面积是

平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．

【巩固】如图，三角形

的5倍，

的3倍，如果三角形

的面积等于1，那么三角形

的面积是多少？

∵

又∵

，∴

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，

，乙部分面积是甲部分面积的几倍？

【例7】如图在

上，且

所以

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比

【例8】如图，平行四边形

，平行四边形

，求平行四边形

与四边形

的面积比．

．根据共角定理

∵在

互补，

同理可得

【例9】如图所示的四边形的面积等于多少？

【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形

绕顶点

逆时针旋转，使长为

的两条边重合，此时三角形

将旋转到三角形

的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为

的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为

.（也可以用勾股定理）

【例10】如图所示，

，以

为一边向

外作正方形

，中心为

，求

【解析】如图，将

沿着

点顺时针旋转

，到达

的位置．

．而

三点在一条直线上．

是等腰直角三角形，且斜边

，所以它的面积为

根据面积比例模型，

【例11】如图，以正方形的边

为斜边在正方形内作直角三角形

交于

．已知

的长分别为

，求三角形

点为中心，将

顺时针旋转

到

那么

也是

是直角梯形，且

所以梯形

的面积为：

（

）．

又因为

是直角三角形，根据勾股定理，

），

【例12】如下图，六边形

，且有

，对角线

垂直于

，已知

厘米，

厘米，请问六边形

的面积是多少平方厘米？

【解析】如图，我们将

平移使得

重合，将

重合，这样

都重合到图中的

了．这样就组成了一个长方形

，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形

平方厘米，所以六边形

【例13】如图，三角形

的中点，点

交于点

．则四边形

的面积等于．

【解析】方法一：

，根据燕尾定理，

设

份，如图所标

方法二：

，由题目条件可得到

而

．所以则四边形

的面积等于

的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?

【解析】设

份，则根据燕尾定理其他面积如图所示

平方厘米.

【例14】四边形

的对角线

（如图所示）．如果三角形

的面积等于三角形

的面积的

，且

的长度是

的长度的_________倍．

【解析】在本题中，四边形

为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：

⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；

⑵