学年安徽省池州市东至二中高二上学期期末考试数学理试题Word格式.docx
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,n⊥
,则m∥n
C.若
,
,则m∥nD.若
,m
,,m⊥n,则m⊥
6.“m>
0,n>
0”是“曲线mx2—ny2=1为双曲线”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.一几何体的三视图如图所示,其中网格纸中每个小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为
B.
C,
8.已知a、b是关于x的方程
(P为常数)的两个不相等的实根,则
过两点M(
)、N(b,b2)的直线与圆
的位置关系为
A.相交B,相切C相离D.相切或相离
9.已知双曲线C:
上任意一点为G,则G到双曲线C的两条渐近线距离之积为
C.
10.中国古代第一部数学名著《九章算术》中,将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形,其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖,若三棱锥Q-ABC为鳖臑,QA⊥平面ABC,AB⊥BC,QA=BC=3,AC=5,则三棱锥Q-ABC外接球的表面积为
11.如果圆
上总存在两个点到点(1,1)的距离为2,则实数t的取值范围是
12.已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1,M是正方形ABCD所在平面内一动点,点E、F满足
,若点M到直线EF与直线BC的距离之比为1:
2,则动点M的轨迹是
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
第Ⅱ卷
13.已知向量
14.已知正四棱锥S-ABCD所有棱长均为2,若E为棱SC的中点,则异面直线BE与SA所成角的正切值为______________。
15.已知抛物线
的焦点为F,经过F的直线与抛物线在第一象限的交点为A,与准线l交于点B、A在B的上方,且AK⊥l于K,若△KFB是等腰三角形,腰长为2,则p=__。
16.椭圆
的右焦点为F(c,0),上下顶点分别为A、B,直线AF交椭圆于另一点P,若PB的斜率为
则椭圆的离心率e=_______。
三、解答题:
(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知命题p:
直线
和直线
平行,命题q:
函数
的值可以取遍所有正实数
(I)若p为真命题,求实数a的值
(Ⅱ)若命题
均为假命题,求实数a的取值范围
18.(本小题满分12分)
一装有水的直三棱柱ABC-A1B1C1容器(厚度忽略不计),上下底面均为边长为5的正三角形,侧棱为10,侧面AA1B1B水平放置,如图所示,点D、E、F、G分别在棱CA、CB、C1B1、C1A1上,水面恰好过点D,E,F,C,且CD=2
(1)证明:
DE∥AB;
(Ⅱ)若底面ABC水平放置时,求水面的高
19(本小题满分12分)
已知椭圆C:
的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2,过点F2作直线交椭圆C于M、N两点,△F1MN的周长为
。
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若∠F1F2M=
,求弦长
20.(本小题满分12分)
已知四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为直角梯形,CD⊥平面ABC,侧面ABC是等腰直角三角形,∠EBC=∠ABC=90°
,BC=CD=2BE=2,点M是棱AD的中点
(I)证明:
平面AED⊥平面ACD;
(Ⅱ)求锐二面角B-CM-A的余弦值
21.(本小题满分12分)
已知⊙H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四个部分,且截x轴所得线段的长为2。
(I)求⊙H的方程;
(Ⅱ)若存在过点P(0,b)的直线与⊙H相交于M,N两点,且点M恰好是线段PN的中点,求实数b的取值范围
22.(本小题满分12分)
已知抛物线C:
y2=2px的焦点为F,准线为l,三个点P(2,
),Q(2,
),R(3,
)中恰有两个点在C上
(I)求抛物线C的标准方程;
(Ⅱ)过F的直线交C于A,B两点,点M为l上任意一点,证明:
直线MA,MF,MB的斜率成等差数列。
池州市高二(理科)数学答案
题
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答
案
A
D
C
B
4.B【解析】∵
,∴
,即(x﹣2)(x+1)>0,∴x>2或x<﹣1.逆命题为“若
”,显然是假命题,又逆命题与否命题互为逆否命题,所以否命题也是假命题.又原命题为真命题,所以逆否命题也是真命题.综上,选B.
5.C【解析】对A,若
又
,所以A正确;
对C,
可能是异面直线,所以C错误;
易知B,D正确.
6.A【解析】当
时,曲线
,可化为
,表示焦点在x轴上的双曲线,充分性成立.若曲线
为双曲线,则
或
,必要性不成立,即“
”是“曲线
为双曲线”的充分不必要条件.
7.B【解析】原几何体是由一个半圆柱与长方体拼接而成,半圆柱的底面半径为2,高为3,长方体的长为4,宽为1,高为3,故该几何体的表面积为
.
8.C【解析】由题意可得
,且
.过点
的直线方程为
,即
,于是圆心
到上述直线的距离为
,所以直线与圆相离,故选C.
9.B【解析】设
,双曲线
的两条渐近线方程分别为
,所以
到双曲线
的两条渐近线的距离分别为
所以
又因为点
在双曲线
上,所以
,代入上式,可得
10.D【解析】补全为长方体,如图,则
所以
,故外接球得表面积为
11.B【解析】因为到点
的距离为2的点的轨迹是圆
,所以题目条件等价于圆
与圆
相交,从而
,解得实数
的取值范围是
12.B【解析】因为
,且正方体
的棱长为4,所以
,故点
到直线
距离,即为点
到点
距离,于是条件“平面
内点
与直线
的距离之比为1:
2”转化为“平面
2”.在平面
内,以A为坐标原点,AB、AD分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系,则
,直线
的方程为
,设点
的坐标为
,则依据题意可得
,化简可得
,故动点
的轨迹是椭圆.
13.5【解析】因为
14.
【解析】设正方形ABCD的中心为O,连接EO,OB,则
即是异面直线
与
所成角.易知
,所以在
中,
15.1【解析】如下图,因为
是等腰三角形,腰长为2,所以必有
,简单可证
也为等腰三角形且
,由抛物线的定义可得
,又因为
16.
【解析】设
满足
的斜率之积为
,因为
.又因为
,解得
17.【解析】
(I)显然当
不平行,
因为
为真命题,所以
,或
…………………………5分
(II)若
为真命题,则
恒成立,解得
因为命题
均为假命题,所以命题
都是假命题,
故实数
…………………………………………………10分
18.【解析】
(I)证明:
因为直三棱柱容器侧面
水平放置,
所以平面
平面
因为平面
,平面
…………………………………………………………………………………6分
(II)当侧面
水平放置时,可知液体部分是直四棱柱,
其高即为直三棱柱
容器的高,即侧棱长10.
由(I)可得
,又
.…………………………………………………………………9分
当底面
水平放置时,设水面的高为
,由于两种状态下水的体积相等,
解得
.…………………………………………………………………………………12分
19.【解析】
(I)因为焦距为2,所以
又因为
的周长为
,结合椭圆定义可得
,于是椭圆
的方程
.……………………………………5分
(II)因为
,所以直线
的斜率
,联立
,消去y可得
.…………………………………8分
设
.………………………12分
20.【解析】
取AC的中点F,连接BF,
因为AB=BC,所以
平面ABC,所以CD
又
平面ACD.①…………………………………………………3分
因为AM=MD,AF=CF,所以
//MF,
所以四边形BFME是平行四边形.所以EM//BF.②
由①②,得
平面ACD,所以平面
;
………………………………5分
(II)
BE
平面ABC,
以点B为原点,直线BC、BA、BE分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系B-xyz.
由
,得B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),D(2,0,2).
由中点坐标公式得
设向量
为平面BMC的一个法向量,则
即
令y=1,得x=0,z=-1,即
……………………………………………………8分
由(I)知,
是平面ACD的一个法向量.……………………………………9分
设二面角B-CM-A的平面角为
则
,…………………………11分
又二面角B-CM-A为锐二面角,故
.…………………………………………12分
21.【解析】
(I)设
被直线
分成面积相等的四部分,
所以圆心
一定是两直线
的交点,
易得交点为
.……………………………………………………2分
截x轴所得线段的长为2,所以
.…………………………………………………4分
(II)法一:
如图,
的圆心
,半径
过点N作
的直径
,连结
当
不重合时,
又点
是线段
的中点
重合时,上述结论仍成立.
因此,“点
的中点”等价于“圆上存在一点
使得
的长等于
的直径”.
…………………………………………………………………………………………………6分
由图可知
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