椭圆知识点归纳总结和经典例题Word格式文档下载.docx
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长半轴长.b叫做椭圆的短半轴长.
|B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|=a.
在Rt△OB2F2中,|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2,
即c2=a2-b2.
7.椭圆的几何性质:
椭圆的几何性质可分为两类:
一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;
一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只要
的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换,就可以得出
的有关性质。
总结如下:
几点说明:
(1)长轴:
线段
,长为
;
短轴:
焦点在长轴上。
(2)对于离心率e,因为a>
c>
0,所以0<
e<
1,离心率反映了椭圆的扁平程度。
由于
,所以
越趋近于1,
越趋近于
,椭圆越扁平;
越趋近于0,
,椭圆越圆。
(3)观察下图,
,所以椭圆的离心率e=cos∠OF2B2
8.直线与椭圆:
直线
:
、
不同时为0)
椭圆
那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢?
将两方程联立得方程组,通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。
方法如下:
消去
得到关于
的一元二次方程,化简后形式如下
,
(1)当
时,方程组有两组解,故直线与椭圆有两个交点;
(2)当
时,方程组有一解,直线与椭圆有一个公共点(相切);
(3)当
时,方程组无解,直线和椭圆没有公共点。
注:
当直线与椭圆有两个公共点时,设其坐标为
,那么线段
的长度(即弦长)为
,设直线的斜率为
,
可得:
,然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。
椭圆典型例题
例1已知椭圆
的一个焦点为(0,2)求
的值.
分析:
把椭圆的方程化为标准方程,由
,根据关系
可求出
解:
方程变形为
.因为焦点在
轴上,所以
,解得
.
又
适合.故
例2已知椭圆的中心在原点,且经过点
,求椭圆的标准方程.
因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,
求出参数
和
(或
)的值,即可求得椭圆的标准方程.
当焦点在
轴上时,设其方程为
由椭圆过点
,知
.又
,代入得
,故椭圆的方程为
,联立解得
例3
的底边
两边上中线长之和为30,求此三角形重心
的轨迹和顶点
的轨迹.
(1)由已知可得
,再利用椭圆定义求解.
(2)由
的轨迹方程
坐标的关系,利用代入法求
的轨迹方程.
(1)以
所在的直线为
轴,
中点为原点建立直角坐标系.设
点坐标为
,由
点的轨迹是以
为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因
,有
故其方程为
(2)设
,则
.①
由题意有
代入①,得
的轨迹方程为
,其轨迹是椭圆(除去
轴上两点).
例4已知
点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点
到两焦点的距离分别为
,过
点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
设两焦点为
,且
.从椭圆定义知
.即
从
知
垂直焦点所在的对称轴,所以在
中,
,从而
∴所求椭圆方程为
或
例5已知椭圆方程
,长轴端点为
,焦点为
是椭圆上一点,
.求:
的面积(用
表示).
求面积要结合余弦定理及定义求角
的两邻边,从而利用
求面积.
如图,设
,由椭圆的对称性,不妨设
在第一象限.由余弦定理知:
·
.①
由椭圆定义知:
②,则
得
故
例6已知动圆
过定点
,且在定圆
的内部与其相内切,求动圆圆心
关键是根据题意,列出点P满足的关系式.
如图所示,设动圆
和定圆
内切于点
.动点
到两定点,
即定点
和定圆圆心
距离之和恰好等于定圆半径,
.∴点
的轨迹是以
为两焦点,
半长轴为4,半短轴长为
的椭圆的方程:
说明:
本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.
例7已知椭圆
(1)求过点
且被
平分的弦所在直线的方程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过
引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
(4)椭圆上有两点
为原点,且有直线
斜率满足
求线段
中点
的轨迹方程.
此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.
设弦两端点分别为
,线段
的中点
①-②得
由题意知
,则上式两端同除以
将③④代入得
.⑤
(1)将
代入⑤,得
,故所求直线方程为:
.⑥
将⑥代入椭圆方程
得
符合题意,
为所求.
(2)将
代入⑤得所求轨迹方程为:
.(椭圆内部分)
(3)将
(4)由①+②得:
,⑦,将③④平方并整理得
,⑧,
,⑨
将⑧⑨代入⑦得:
,⑩
再将
代入⑩式得:
,即
此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.
例8已知椭圆
及直线
(1)当
为何值时,直线与椭圆有公共点?
(2)若直线被椭圆截得的弦长为
,求直线的方程.
(1)把直线方程
代入椭圆方程
(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为
,由
(1)得
根据弦长公式得:
.解得
.方程为
处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.
这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式
解决弦长问题,一般应用弦长公式.
用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.
例9以椭圆
的焦点为焦点,过直线
上一点
作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点
应在何处?
并求出此时的椭圆方程.
椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.
如图所示,椭圆
的焦点为
点
关于直线
的对称点
的坐标为(-9,6),直线
的方程为
解方程组
得交点
的坐标为(-5,4).此时
最小.
所求椭圆的长轴:
,∴
,又
∴
.因此,所求椭圆的方程为
例10已知方程
表示椭圆,求
的取值范围.
由
∴满足条件的
的取值范围是
本题易出现如下错解:
,故
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中
这个条件,当
时,并不表示椭圆.
例11已知
表示焦点在
轴上的椭圆,求
依据已知条件确定
的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出
方程可化为
因此
且
从而
(1)由椭圆的标准方程知
,这是容易忽视的地方.
(2)由焦点在
轴上,知
.(3)求
的取值范围时,应注意题目中的条件
例12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过
两点的椭圆方程
由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,
可设其方程为
),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.
设所求椭圆方程为
).由
两点在椭圆上可得
所以
.故所求的椭圆方程为
例13已知长轴为12,短轴长为6,焦点在
轴上的椭圆,过它对的左焦点
作倾斜解为
的直线交椭圆于
两点,求弦
的长.
可以利用弦长公式
求得,
也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求.
(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.
.因为
轴上,
所以椭圆方程为
,左焦点
,从而直线方程为
由直线方程与椭圆方程联立得:
.设
为方程两根,所以
,从而
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.
由题意可知椭圆方程为
,设
在
,即
.同理在
中,用余弦定理得
(法3)利用焦半径求解.
先根据直线与椭圆联立的方程
求出方程的两根
,它们分别是
的横坐标.
再根据焦半径
,从而求出
例14 椭圆
上的点
到焦点
的距离为2,
为
的中点,则
为坐标原点)的值为A.4 B.2 C.8 D.
如图所示,设椭圆的另一个焦点为
,由椭圆第一定义得
又因为
的中位线,所以
,故答案为A.
(1)椭圆定义:
平面内与两定点的距离之和等于常数(大于
)的点的轨迹叫做椭圆.
(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即
,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.
例15已知椭圆
,试确定
的取值范围,使得对于直线
,椭圆
上有不同的两点关于该直线对称.
若设椭圆上
两点
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- 椭圆 知识点 归纳 总结 经典 例题