高考数学一轮复习理科 专题探究课6 概率与统计中的高考热点问题Word文件下载.docx
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10.828
χ2=
.
[解]
(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”.
由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).
旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×
5=0.62,
故P(B)的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为
(0.068+0.046+0.010+0.008)×
5=0.66,
故P(C)的估计值为0.66.
因此,事件A的概率估计值为0.62×
0.66=0.4092.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
62
38
34
66
≈15.705.
由于15.705>
6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×
5=0.34<
0.5,
箱产量低于55kg的直方图面积为
(0.004+0.020+0.044+0.068)×
5=0.68>
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
50+
≈52.35(kg).
[规律方法] 1.独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系,利用独立性检验,能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测,并能较为准确地给出这种判断的可信度;
具体做法是根据公式χ2=
,计算随机变量的观测值χ2,χ2值越大,说明“两个变量有关系”的可能性越大.
2.频率分布直方图中的众数、中位数与平均数.
1最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;
2平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数;
3平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
[跟踪训练] (2018·
成都二诊)某项科研活动共进行了5次试验,其数据如下表所示:
特征量
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
x
555
559
551
563
552
y
601
605
597
599
598
(1)从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据,求至少有一个大于600的概率;
(2)求特征量y关于x的线性回归方程y=bx+a,并预测当特征量x为570时,特征量y的值.
(附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=
,a=
-b
)
[解]
(1)记“至少有一个大于600”为事件A.
∴P(A)=1-
=
(2)
=556,
=600.
∴b=
=0.3.
∵a=
=600-0.3×
556=433.2,
∴线性回归方程为y=0.3x+433.2.
当x=570时,y=0.3×
570+433.2=604.2.
∴当x=570时,特征量y的估计值为604.2.
常见概率模型的概率
几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点,几何概型主要以客观题进行考查,求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度);
相互独立事件,互斥事件常作为解答题的一问考查,也是进一步求分布列、均值与方差的基础,求解该类问题要正确理解题意,准确判定概率模型,恰当选择概率公式.
在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:
每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;
否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是
(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及均值;
(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.
[解]
(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
依条件可知,X~B
,P(X=k)=C
·
(k=0,1,2,3,4,5,6).
所以X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P
故EX=
(0×
1+1×
12+2×
60+3×
160+4×
240+5×
192+6×
64)=
=4.或因为X~B6,
,所以EX=6×
=4.
(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A,
则P(A)=C
+C
+
,即教师甲在一场比赛中获奖的概率为
[规律方法] 首先判断随机变量X服从二项分布是问题解决的突破口,对于实际问题中的随机变量X,如果能够断定它服从二项分布Bn,p,则其概率、均值与方差可直接利用公式PX=k=C
pk1-pn-kk=0,1,2,…,n,EX=np,DX=np1-p求得,因此,利用二项分布的相关公式,可以避免烦琐的运算过程,提高运算速度和准确度.
[跟踪训练] 甲、乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出3人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错或不答都得0分,已知甲队3人每人答对的概率分别为
,
,乙队每人答对的概率都是
,设每人回答正确与否相互之间没有影响,用ξ表示甲队总得分.
(1)求ξ=2的概率;
(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率.
[解]
(1)ξ=2,则甲队有两人答对,一人答错,
故P(ξ=2)=
×
;
(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A,甲队比乙队得分高为事件B.设乙队得分为η,则η~B
P(ξ=1)=
P(ξ=3)=
P(η=1)=C
P(η=2)=C
P(η=3)=C
∴P(A)=P(ξ=1)P(η=3)+P(ξ=2)P(η=2)+P(ξ=3)·
P(η=1)=
P(AB)=P(ξ=3)·
∴所求概率为P(B|A)=
离散型随机变量的分布列、期望和方差的应用
离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点,每年均有解答题,属于中档题.复习中应强化应用题的理解与掌握,弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键,对概率的确定与转化是解题的基础,准确计算是解题的核心.
(本小题满分12分)(2016·
全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.
机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.①
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面如图2所示的柱状图:
②
图2
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,③
n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求PX≤n≥0.5,④确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
[审题指导]
题眼
挖掘关键信息
①
看到这种条件,想到解题时可能要分类求解
看到柱状图想到频数与频率间的关系,想到横轴中的取值含义
③
看到自变量X想到柱状图,想到X的所有可能取值
④
看到P(X≤n)≥0.5想到X和n的含义,想到
(1)中的分布列
[规范解答]
(1)由柱状图及以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.1分
由题意可知X的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22.⑤
从而P(X=16)=0.2×
0.2=0.04;
P(X=17)=2×
0.2×
0.4=0.16;
P(X=18)=2×
0.2+0.4×
0.4=0.24;
P(X=19)=2×
0.2+2×
0.4×
0.2=0.24;
P(X=20)=2×
0.4+0.2×
0.2=0.2;
P(X=21)=2×
0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×
0.2=0.04.4分
16
17
18
19
20
21
22
0.04
0.16
0.24
0.2
0.08
6分
(2)由
(1)知PX≤18=0.44,PX≤19=0.68,⑥
故n的最小值为19.7分
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:
元).
当n=19时,⑦
EY=19×
200×
0.68+(19×
200+500)×
0.2+(19×
200+2×
500)×
0.08+(19×
200+3×
0.04=4040;
9分
当n=20时,⑧
EY=20×
0.88+(20×
0.08+(20×
0.04=4080.11分
可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.12分
[阅卷者说]
易错点
防范措施
⑤忽视X的实际含义导致取值错误,进而导致概率计算错误
细心审题,把握题干中的重要字眼,关键处加标记,同时理解X取每个值的含义
⑥忽视P(X≤n)≥0.5的含义,导致不会求解
结合
(1)
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