电动力学习题解答Word文档下载推荐.docx
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(3)
3.设
为源点
到场点
的距离,
的方向规定为从源点指向场点。
(1)证明下列结果,并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系:
;
。
(2)求
及
,其中
、
均为常向量。
(1)证明:
可见
,
(2)解:
因为,
为常向量,所以,
又
为常向量,
,而
4.应用高斯定理证明
,应用斯托克斯(Stokes)定理证明
(I)设
为任意非零常矢量,则
根据矢量分析公式
令其中
,便得
因为
是任意非零常向量,所以
(II)设
为任意非零常向量,令
,代入斯托克斯公式,得
(1)
(1)式左边为:
(2)
(1)式右边为:
(3)
(4)
为任意非零常向量,所以
5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为
,利用电荷守恒定律
证明p的变化率为:
方法(I)
因为封闭曲面S为电荷系统的边界,所以电流不能流出这边界,故
同理
方法(II)
根据并矢的散度公式
6.若m是常向量,证明除
点以外,向量
的旋度等于标量
的梯度的负值,即
,其中R为坐标原点到场点的距离,方向由原点指向场点。
其中
,(
)
又
所以,当
时,
7.有一内外半径分别为
和
的空心介质球,介质的电容率为
,使介质球内均匀带静止自由电荷
,求:
(1)空间各点的电场;
(2)极化体电荷和极化面电荷分布。
(1)设场点到球心距离为
以球心为中心,以
为半径作一球面作为高斯面。
由对称性可知,电场沿径向分布,且相同
处场强大小相同。
当
时,
向量式为
(2)当
8.内外半径分别为
的无穷长中空导体圆柱,沿轴向流有恒定均匀自由电流
,导体的磁导率为
,求磁感应强度和磁化电流。
(1)以圆柱轴线上任一点为圆心,在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路,设其半径为
由对称性可知,磁场在垂直于轴线的平面内,且与圆周相切。
时,由安培环路定理得:
时,由环路定理得:
时,磁化强度为
在
处,磁化面电流密度为
9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度
总是等于体自由电荷密度
的
倍。
在均匀介质中
所以
10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间
的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)
证明:
线圈1在线圈2的磁场中受的力:
而
同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力:
(2)
(1)式中:
同理
(2)式中:
11.平行板电容器内有两层介质,它们的厚度分别为
,电容率为
,今在两板接上电动势为E的电池,求:
(1)电容器两极板上的自由电荷面密度
(2)介质分界面上的自由电荷面密度
(若介质是漏电的,电导率分别为
当电流达到恒定时,上述两物体的结果如何?
忽略边缘效应,平行板电容器内部场强方向垂直于极板,且介质中的场强分段均匀,分别设为
,电位移分别设为
,其方向均由正极板指向负极板。
当介质不漏电时,介质内没有自由电荷,因此,介质分界面处自由电荷面密度为
取高斯柱面,使其一端在极板A内,另一端在介质1内,由高斯定理得:
同理,在极板B内和介质2内作高斯柱面,由高斯定理得:
在介质1和介质2内作高斯柱面,由高斯定理得:
所以有
由于E
E
当介质漏电时,重复上述步骤,可得:
介质1中电流密度
介质2中电流密度
由于电流恒定,
再由E
得
E
12.证明:
(1)当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时,电场线的曲折满足
其中
分别为两种介质的介电常数,
分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
(2)当两种导电介质内流有恒定电流时,分界面上电场线的曲折满足
分别为两种介质的电导率。
(1)由
的切向分量连续,得
(1)
交界面处无自由电荷,所以
的法向分量连续,即
(2)
(1)、
(2)式相除,得
(2)当两种电介质内流有恒定电流时
由
的法向分量连续,得
(3)
(1)、(3)式相除,即得
13.试用边值关系证明:
在绝缘介质与导体的分界面上,在静电情况下,导体外的电场线总是垂直于导体表面;
在恒定电流情况下,导体内电场线总是平行于导体表面。
(1)设导体外表面处电场强度为
,其方向与法线之间夹角为
,则其切向分量为
在静电情况下,导体内部场强处处为零,由于在分界面上
的切向分量连续,所以
因此
即
只有法向分量,电场线与导体表面垂直。
(2)在恒定电流情况下,设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为
,则电流密度
与导体表面夹角也是
导体外的电流密度
,由于在分界面上电流密度的法向分量连续,所以
只有切向分量,从而
只有切向分量,电场线与导体表面平行。
14.内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器,单位长度荷电为
,板间填充电导率为
的非磁性物质。
(1)证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消,因此内部无磁场。
随时间的衰减规律。
(3)求与轴相距为
的地方的能量耗散功率密度。
(4)求长度l的一段介质总的能量耗散功率,并证明它等于这段的静电能减少率。
(1)以电容器轴线为轴作一圆柱形高斯面,其半径为r,长度为L,其中
则由高斯定理得:
再由电流连续性方程得:
(4)
与
严格抵消,因此内部无磁场。
(2)由
(5)
联立
(2)(4)(5)得
(6)
(7)
设初始条件为
,则由(7)式得
所以,
(8)
(3)
(9)
(4)将上式在长度为l的一段介质内积分,得
(10)
(11)
由(6)(10)(11)得:
即总的能量耗散功率等于这段介质的静电能减少率。
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