学年数学高考一轮复习训练高考大题专项练3 高考中的数列Word文档下载推荐.docx

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,an+1=

（n∈N+）.

（1）求证:

数列

是等比数列;

（2）求数列

的前n项和Sn.

5.（2017江苏,19）对于给定的正整数k,若数列{an}满足:

an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n（n>

k）总成立,则称数列{an}是“P（k）数列”.

（1）证明:

等差数列{an}是“P（3）数列”;

（2）若数列{an}既是“P

（2）数列”,又是“P（3）数列”,证明{an}是等差数列.

6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.

（1）求an;

（2）设bn=

数列{bn}的前n项和为Tn,求证:

Tn>

7.已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=

（n≥2）.

{

}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;

（2）记数列

的前n项和为Tn,若对任意的n∈N+,不等式4Tn<

a2-a恒成立,求实数a的取值范围.

8.（2017山东潍坊一模）已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,数列{bn}是公比大于0的等比数列,且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式;

（2）令cn=

求数列{cn}的前n项和Tn.

参考答案

1.解

（1）依题意得,

解得

故an=a1+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1,即an=2n+1.

（2）由题意可知

=3n-1,则bn=an·

3n-1=（2n+1）·

3n-1.

故Tn=3+5×

3+7×

32+…+（2n+1）·

3n-1,①

3Tn=3×

3+5×

32+7×

33+…+（2n-1）·

3n-1+（2n+1）·

3n,②

①-②得-2Tn=3+2×

3+2×

32+…+2·

3n-1-（2n+1）3n

=3+2·

-（2n+1）3n=-2n·

3n,

因此,Tn=n·

3n.

2.解

（1）（方法一）∵Sn+1=3Sn+3,∴Sn+1+

=3

∴Sn+

3n-1=

×

∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=

=3n,a1也适合.∴an=3n.

（方法二）由Sn+1=3Sn+3（n∈N+）,

可知当n≥2时,Sn=3Sn-1+3,

两式相减,得an+1=3an（n≥2）.

又a1=3,代入Sn+1=3Sn+3得a2=9,故an=3n.

（2）∵bn=

∴Tn=

①

∴

Tn=

②

由①-②,得

解得Tn=

3.解

（1）由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,

两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.

又由S2=qS1+1得到a2=qa1,

故an+1=qan对所有n≥1都成立.

所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.

从而an=qn-1.

由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3.

所以a3=2a2,故q=2.所以an=2n-1.

（2）由

（1）可知,an=qn-1.所以双曲线x2-

=1的离心率en=

由e2=

=2,解得q=

所以

=（1+1）+（1+q2）+…+[1+q2（n-1）]

=n+[1+q2+…+q2（n-1）]=n+

=n+

（3n-1）.

4.

（1）证明∵an+1=

∴

-1=

.又a1=

∴数列

是以

为首项,以

为公比的等比数列.

（2）解由

（1）知

则

+1.故

+n.

设Tn=

由①-②得

=1-

∴Tn=2-

又1+2+3+…+n=

∴数列

的前n项和Sn=2-

5.证明

（1）因为{an}是等差数列,设其公差为d,则an=a1+（n-1）d,

从而,当n≥4时,an-k+an+k=a1+（n-k-1）d+a1+（n+k-1）d=2a1+2（n-1）d=2an,k=1,2,3,

所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,

因此等差数列{an}是“P（3）数列”.

（2）数列{an}既是“P

（2）数列”,又是“P（3）数列”,因此,

当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①

当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②

由①知,an-3+an-2=4an-1-（an+an+1）,③

an+2+an+3=4an+1-（an-1+an）.④

将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,

所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'

在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d'

在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d'

所以数列{an}是等差数列.

6.

（1）解设等差数列{an}的公差为d,

由题意得

故an=a1+（n-1）d=2n+1.

（2）证明∵a1=3,d=2,∴Sn=na1+

d=n（n+2）.

∴bn=

∴Tn=b1+b2+…+bn-1+bn

=

故Tn>

7.解

（1）因为an=

所以Sn-Sn-1=

即

=1,所以数列{

}是首项为

=1,公差为1的等差数列,得

=n,所以an=

=n+（n-1）=2n-1（n≥2）,

当n=1时,a1=1也适合,所以an=2n-1.

（2）因为

所以Tn=

所以Tn<

.要使不等式4Tn<

a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2,

故实数a的取值范围是（-∞,-1]∪[2,+∞）.

8.解

（1）设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q>

0,

且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.

∴a1=-1,-1+2d+2q=-1,3×

（-1）+3d+2×

2×

q2=7,解得d=-2,q=2.∴an=-1-2（n-1）=1-2n,bn=2n.

（2）cn=

①当n=2k（k∈N+）时,数列{cn}的前n项和Tn=T2k=（c1+c3+…+c2k-1）+（c2+c4+…+c2k）=2k+

令Ak=

Ak=

+4

+4×

可得Ak=

∴Tn=T2k=2k+

②当n=2k-1（k∈N+）时,数列{cn}的前n项和Tn=T2k-2+a2k-1=2（k-1）+

+2=2k+

k∈N+.