届高考数学二轮复习求轨迹方程的常用方法学案含答案全国通用Word下载.docx
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求点C的轨迹。
【变式】:
已知圆
的圆心为M1,圆
的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程。
二:
用直译法求轨迹方程
此类问题重在寻找数量关系。
例2:
一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,且BM=a,AM=b,求AB中点M的轨迹方程?
【变式】:
动点P(x,y)到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即
),求动点P的轨迹方程?
三:
用参数法求轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。
注意参数的取值范围。
例3.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。
四:
用代入法求轨迹方程
例4.
轨迹方程。
【变式】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°
,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
五、用交轨法求轨迹方程
例5.已知椭圆
(a>b>o)的两个顶点为
,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2,求A1P1与A2P2交点M的轨迹方程.
六、用点差法求轨迹方程
例6.已知椭圆
,
(1)求过点
且被
平分的弦所在直线的方程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过
引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
练习
1.在
中,B,C坐标分别为(-3,0),(3,0),且三角形周长为16,则点A的轨迹方
程是_______________________________.
2.两条直线
与
的交点的轨迹方程是__________.
3.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A,则弦的中点M的轨迹方程是_____
4.当参数m随意变化时,则抛物线
的顶点的轨迹方程为______。
5:
点M到点F(4,0)的距离比它到直线
的距离小1,则点M的轨迹方程为________。
6:
求与两定点
距离的比为1:
2的点的轨迹方程为_____________
7.抛物线
的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于A、B两点,动点C在抛物线上,求△ABC重心P的轨迹方程。
8.已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨迹方程。
9.过原点作直线l和抛物线
交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程。
参考答案
【解析】由
可知
,即
,满足椭圆的定义。
令椭圆方程为
,则
,则轨迹方程为
(
,图形为椭圆(不含左,右顶点)。
【变式1】:
1:
解:
设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:
。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b2=12。
故所求轨迹方程为
2:
一动圆与圆O:
外切,而与圆C:
内切,那么动圆的圆心M的轨迹是:
A:
抛物线B:
圆C:
椭圆D:
双曲线一支
【解答】令动圆半径为R,则有
,则|MO|-|MC|=2,满足双曲线定义。
故选D。
用直译法求曲线轨迹方程
一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程?
解设M点的坐标为
由平几的中线定理:
在直角三角形AOB中,OM=
M点的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆周.
【变式2】:
【解答】∵|PA|=
代入
得
化简得(x-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4为半径的圆.
用参数法求曲线轨迹方程
【解析】
分析1:
从运动的角度观察发现,点M的运动是由直线l1引发的,可设出l1的斜率k作为参数,建立动点M坐标(x,y)满足的参数方程。
解法1:
设M(x,y),设直线l1的方程为y-4=k(x-2),(k≠0)
∵M为AB的中点,
消去k,得x+2y-5=0。
另外,当k=0时,AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程;
当k不存在时,AB中点为M(1,2),也满足上述轨迹方程。
综上所述,M的轨迹方程为x+2y-5=0。
分析2:
解法1中在利用k1k2=-1时,需注意k1、k2是否存在,故而分情形讨论,能否避开讨论呢?
只需利用△PAB为直角三角形的几何特性:
解法2:
设M(x,y),连结MP,则A(2x,0),B(0,2y),
∵l1⊥l2,∴△PAB为直角三角形
化简,得x+2y-5=0,此即M的轨迹方程。
分析3:
:
设M(x,y),由已知l1⊥l2,联想到两直线垂直的充要条件:
k1k2=-1,即可列出轨迹方程,关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。
事实上,由M为AB的中点,易找出它们的坐标之间的联系。
解法3:
设M(x,y),∵M为AB中点,∴A(2x,0),B(0,2y)。
又l1,l2过点P(2,4),且l1⊥l2
∴PA⊥PB,从而kPA·
kPB=-1,
注意到l1⊥x轴时,l2⊥y轴,此时A(2,0),B(0,4)
中点M(1,2),经检验,它也满足方程x+2y-5=0
综上可知,点M的轨迹方程为x+2y-5=0。
【变式3】过圆O:
x2+y2=4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。
解法一:
“几何法”
设点M的坐标为(x,y),因为点M是弦BC的中点,所以OM⊥BC,
所以|OM|2+|MA|2 =|OA|2 ,
即(x2+y2)+(x-4)2+y2=16
化简得:
(x-2)2+y2=4................................①
由方程①与方程x2+y2=4得两圆的交点的横坐标为1,所以点M的轨迹方程为
(x-2)2+y2=4(0≤x<1)。
所以M的轨迹是以(2,0)为圆心,
2为半径的圆在圆O内的部分。
解法二:
“参数法”
设点M的坐标为(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2)直线AB的方程为y=k(x-4),
由直线与圆的方程得(1+k2)x2-8k2x+16k2-4=0...........(*),
由点M为BC的中点,所以x=
...............
(1),又OM⊥BC,所以k=
.................
(2)由方程
(1)
(2)
消去k得(x-2)2+y2=4,又由方程(*)的△≥0得k2
≤
所以x<1.
所以点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(0≤x<1)所以M的轨迹是以(2,0)为圆心,
用代入法等其它方法求轨迹方程
分析:
题中涉及了三个点A、B、M,其中A为定点,而B、M为动点,且点B的运动是有规律的,显然M的运动是由B的运动而引发的,可见M、B为相关点,故采用相关点法求动点M的轨迹方程。
【解析】设动点M的坐标为(x,y),而设B点坐标为(x0,y0)
则由M为线段AB中点,可得
即点B坐标可表为(2x-2a,2y)
【变式4】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°
【解析】:
设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点,依垂径定理在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)
又|AR|=|PR|=
所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即x2+y2-4x-10=0
因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动
设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以x1=
代入方程x2+y2-4x-10=0,得
-10=0
整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
分析:
此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.
设弦两端点分别为
,线段
的中点
①-②得
.
由题意知
,则上式两端同除以
,有
将③④代入得
.⑤
(1)将
代入⑤,得
,故所求直线方程为:
.⑥
将⑥代入椭圆方程
符合题意,
为所求.
(2)将
代入⑤得所求轨迹方程为:
.(椭圆内部分)
(3)将
练习1【正确解答】ABC为三角形,故A,B,C不能三点共线。
轨迹方程里应除去点
,即轨迹方程为
的交点的轨迹方程是.
【解答】:
直接消去参数
即得(交轨法):
3:
已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A,则弦的中点M的轨迹方程是.
令M点的坐标为(
则A的坐标为(2
代入圆的方程里面得:
4:
当参数m随意变化时,则抛物线
的顶点的轨迹方程为
【分析】:
把所求轨迹上的动点坐标x,y分别用已有的参数m来表示,然后消去参数m,便可得到动点的轨迹方程。
【解答】:
抛物线方程可化为
它的顶点坐标为
消去参数m得:
故所求动点的轨迹方程为
的距离
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