山东省菏泽市届高三下学期第一次模拟考试数学理试题.docx
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山东省菏泽市届高三下学期第一次模拟考试数学理试题
菏泽市2019届高三年级第一次模拟考试
数学(理科)
2019.3
考生注意:
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分,考试时间120分钟。
2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围:
高考范围。
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.
1.已知集合
,则
A.
B.
C.
D.
2.已知复数
满足
(
为虚数单位),则
为
A.2B.
C.
D.1
3.已知
是两条不同的直线,
是三个不同的平面,则下列正确的是
A.若
,则
B.若
,则
C.若
,则
D.若
,则
4.若在区间
上随机取两个数,则这两个数之和小于3的概率是
A.
B.
C.
D.
5.若双曲线
的离心率
,则实数
的取值范围为
A.
B.
C.
D.
6.等比数列
中,
是方程
的两个实数根,则
的值为
A.2B.
或
C.
D.
7.执行如图所示的程序框图,输入
,若要求输出
不超过500的最大奇数
,则◇内应填
A.
B.
C.
D.
8.若
的展开式中含有常数项,且
的最小值为
,则
A.
B.
C.
D.
9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的外接球的表面积是
A.
B.
C.
D.
10.已知
,若将函数
的图象向右平移
个单位长度后所得图象关于
轴对称,则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
11.已知椭圆
的左、右焦点分别为
,过
作垂直于
轴的直线交椭圆于
,
两点,若
的内切圆半径为
,则椭圆的离心率
A.
B.
或
C.
D.
12.已知
是定义域为
的单调函数,若对任意
都有
,且关于
的方程
在区间
上有两个不同实数根,则实数
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.记
表示不超过
的最大整数,例如
,已知
则
__________.
14.若实数
满足
,则
的最小值是__________.
15.已知平面向量
均为单位向量,若
,则
的取值范围为__________.
16.已知等差数列
前
项和为
,且
,若满足不等式
的正整数
有且仅有3个,则实数
的取值范围为__________.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.第17题〜第21题为必考题,每个题目考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(本小题满分12分)
在
中,
分别是角
的对边,且
,
.
(1)求
的值;
(2)若
,求
的面积.
18.(本小题满分12分)
如图,在几何体
中,四边形
是边长为2的菱形,
平面
,
平面
,
,
.
(1)当
长为多少时,平面
平面
?
(2)在
(1)的条件下,求二面角
的余弦值.
19.(本小题满分12分)
在一次诗词知识竞赛调查中,发现参赛选手分为两个年龄(单位:
岁)段:
,
,其中答对诗词名句与否的人数如图所示.
(1)完成下面2×2列联表;
年龄段
正确
错误
合计
合计
(2)是否有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关,请说明你的理由;
(3)现按年龄段分层抽样选取6名选手,若从这6名选手中选取3名选手,求3名选手中年龄在
岁范围人数的分布列和数学期望.
注:
,其中
0.100
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
20.(本小题满分12分)
已知抛物线
的顶点为平面直角坐标系
的坐标原点
,焦点为圆
的圆心
.经过点
的直线
交抛物线
于
两点,交圆
于
两点,
在第一象限,
在第四象限.
(1)求抛物线
的方程;
(2)是否存在直线
使
是
与
的等差中项?
若存在,求直线
的方程;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数
.
(1)若关于
的方程
在区间
上有解,求实数
的取值范围;
(2)若
对
恒成立,求实数
的取值范围.
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中,曲线
,(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线
的普通方程和曲线
的普通方程;
(2)若
分别为曲线
上的动点,求
的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数
.
(1)求不等式
的解集;
(2)设
,若对任意
不等式
成立,求实数
的取值范围.
菏泽市2019届高三年级第一次模拟考试·数学(理科)
参考答案、提示及评分细则
1.C因为集合
,
,所以
,故选C.
2.C由
,得
,
∴
,故选C.
3.D若
,则
,D正确;分析知选项A,B,C均不正确,故选D.
4.A如图,在区间[0,2]上随机取两个数为x,y,则不等式组
,表示的平面区域为边长是2的正方形OACE区域.又
,所以所求概率
.故选A
5.D由题意易得
,则
,即
.故选D.
6.B
是方程
的根,
,即
或
.
.故选B.
7.C输入
,则
,不符合;
,
则
,不符合;
,则
,符合.又
,所以输出m的值应为5,所以空白框内应填
输出
.故选C
8.C
展开式的通项为
,因为展开式中含有常数项,所以
,即
为整数,故n的最小值为5.
所以
.故选C
9.D由已知中的三视图可得:
该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于以俯视图为底面侧棱长为1的直三棱柱的外接球,再由正弦定理易得底面三角形的外接圆半径
,球心到底面的距离
,故球半径
,故球的表面积
,故选D.
10.D由
得
,又
,则
,所以
,
所以
.将
向右平移
个单位长度后得到
,因为函数
的图象关于y轴对称,所以
,即
.又
,所以当
时,
取得最小值
.故选D.
11.B如图,设
内切圆圆心为C,半径为r,
则
.
即
,∴
,∴
.整理得
,解得
或
.故选B.
12.A由题意知必存在唯一的正实数m满足
,
,
∴
,∴
,∴
,解得m=3.
故
.又关于x的方程
在区间(0,3]上有两个不同实数根,即关于x的方程
在区间(0,3]上有两个不同实数根.由
,得
.当
时,
,
单调递减;与
时,
,
单调递增,∴
在
处取得最大值a.
,
.分别作出函数
和函数
的部分图象:
两图象只有一个交点(l,0),将
的图象向上平移,且经过点(3,1),由
,得
.综上
.故选A.
13.
∵
,∴
.又∵
,∴
,即
.
14.
不等式
可表示为如图所示的平面区域.
为该区域内的点与坐标原点连线的斜率,显然,当x=3,y=1时,
取得最小值
.
15.
∵三个平面向量
均为单位向量,
,∴设
,
,
,则
,
,
∴
.它表示单位圆上的点到定点P(2,3)的距离,其最大值是
,最小值是
.
∴
的取值范围是
.
16.
不妨设
,由
,得
,
则
,所以
,令
,
则
),易得数列
在
时单调递减;在n>5时单调递增.令
,有
,
,
.若满足题意的正整数n只有3个,则n只能为4,5,6,故实数
的取值范围为
.
17.解:
(1)∵
,由正弦定理得
.
∴
,∴
.
又
,∴
.
∵
,∴
,∴
,
由3a=2b知,a<b,
∴A为锐角,∴
.
∴
(2)∵b=6,
,∴a=4.
∴
.
18.证明:
(1)连接BD交AC于点O,则AC⊥BD.
取EF的中点G,连接OG,则OG∥DE.
∵DE⊥平面ABCD,∴OG⊥平面ABCD.
∴OG,AC,BD两两垂直.
∴以AC,BD,OG所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图),
设
,
由题意,易求
,
∴
,
设平面AEF,平面CEF的法向量分别为
,
由
,
,得
,∴
解得
.令
,∴
.
同理可求
.
若平面AEF⊥平面CEF,则
,
∴
,
解得
或
(舍),
即BF长为
时,平面AEF⊥平面CEF.
解:
(2)当
时,
,
∴
,
,∴EF⊥AF,EF⊥CF,
∴EF⊥平面AFC,
∴平面AFC的一个法向量为
,
设平面AEC的一个法向量为
,则
,∴
,得
,
令
,得
,∴
.
从而
.
故所求的二面角E-AC-F的余弦值为
.
19.解:
(1)2×2列联表:
年龄段
正确
错误
合计
[20,30)
10
30
40
[30,40]
10
70
80
合计
20
100
120
(2)
.
∵3>2.706,
∴有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关.
(3)按年龄段分层抽取6人中,在范围[20,30)岁的人数是2(人),在[30,40]岁范围的人数是4(人).
现从6名选手中选取3名选手,设3名选手中在范围[20,30)岁的人数为
,则
的可能取值为0,1,2
,
,
,
∴
的分布列为
0
1
2
P
故
的数学期望为
.
20.解:
(1)∵圆F的方程为
,
∴圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.
根据题意设抛物线E的方程为
,
∴
,解得p=4.
∴抛物线E的方程为
.
(2)∵
是
与
的等差中项,
∴
.
∴
.
讨论:
若
垂直于x轴,则
的方程为x=2,代入
,解得
.
此时|AD|=8,不满足题
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- 山东省 菏泽市 届高三 下学 第一次 模拟考试 学理 试题