含参一元二次不等式专项训练Word文档下载推荐.docx
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11.解关于x的不等式ax2﹣(a+1)x+1<0.12.解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax(a∈R).
含参一元二次不等式专题训练参考答案与试题解析
一.解答题(共12小题)
1.(2009•如皋市模拟)已知不等式(ax﹣1)(x+1)<0(a∈R).
(2)当a≠0时,解这个关于x的不等式.
考点:
一元二次不等式的解法.菁优网版权所有
专题:
计算题;
综合题;
分类讨论;
转化思想.
分析:
(1)若x=a时不等式成立,不等式转化为关于a的不等式,直接求a的取值范围;
(2)当a≠0时,当a>0、﹣1<a<0、a<﹣1三种情况下,比较
的大小关系即可解这个关于x的不等式.
解答:
解:
(1)由x=a时不等式成立,即(a2﹣1)(a+1)<0,所以(a+1)2(a﹣1)<0,
所以a<1且a≠﹣1.所以a的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,1).(6分)
(2)当a>0时,
,所以不等式的解:
;
当﹣1<a<0时,
,所以不等式(ax﹣1)(x+1)<0的解:
或x<﹣1;
当a<﹣1时,
x<﹣1或
.
当a=﹣1时,不等式的解:
x<﹣1或x>﹣1
综上:
当a>0时,所以不等式的解:
当﹣1<a<0时,所以不等式的解:
或x>﹣1;
当a≤﹣1时,所以不等式的解:
.(15分)
点评:
本题考查一元二次不等式的解法,考查转化思想,分类讨论思想,是中档题.
2.解关于x的不等式:
不等式的解法及应用.
x2+(a+1)x+a>0(a是实数).可化为(x+a)(x+1)>0.对a与1的大小分类讨论即可得出.
x2+(a+1)x+a>0(a是实数)可化为(x+a)(x+1)>0.
当a>1时,不等式的解集为{x|x>﹣1或x<﹣a};
当a<1时,不等式的解集为{x|x>﹣a或x<﹣1};
当a=1时,不等式的解集为{x|x≠﹣1}.
本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论的方法,属于基础题.
3.解关于x的不等式ax2+2x﹣1<0(a>0).
由a>0,得△>0,求出对应方程ax2+2x﹣1=0的两根,即可写出不等式的解集.
∵a>0,∴△=4+4a>0,
且方程ax2+2x﹣1=0的两根为
x1=
,x2=
,
且x1<x2;
∴不等式的解集为{x|
<x<
}.
本题考查了不等式的解法与应用问题,解题时应按照解一元二次不等式的步骤进行解答即可,是基础题.
4.解关于x的不等式,(a∈R):
(1)分a=0,a>0,a<0三种情况进行讨论:
a=0,a<0两种情况易解;
a>0时,由对应方程的两根大小关系再分三种情况讨论即可;
(2)按照△=4a2﹣8的符号分三种情况讨论即可解得;
(1)ax2﹣2(a+1)x+4>0可化为(ax﹣2)(x﹣2)>0,
(i)当a=0时,不等式可化为x﹣2<0,不等式的解集为{x|x<2};
(ii)当a>0时,不等式可化为(x﹣
)(x﹣2)>0,
①若
,即0<a<1时,不等式的解集为{x|x<2或x>
};
②若
=2,即a=1时,不等式的解集为{x|x≠2};
③若
,即a>1时,不等式的解集为{x|x<
或x>2}.
(iii)当a<0时,不等式可化为(x﹣
)(x﹣2)<0,不等式的解集为{x|
<x<2}.
综上,a=0时,不等式的解集为{x|x<2};
0<a<1时,不等式的解集为{x|x<2或x>
a=1时,不等式的解集为{x|x≠2};
a>1时,不等式的解集为{x|x<
或x>2};
a<0时,不等式的解集为{x|
(2)x2﹣2ax+2≤0,
△=4a2﹣8,
①当△<0,即﹣
a
时,不等式的解集为∅;
②当△=0,即a=
时,不等式的解集为{x|x=a};
③当△>0,即a<﹣
或a>
时,不等式的解集为[x|a﹣
≤x≤a
综上,﹣
a=
a<﹣
该题考查含参数的一元二次不等式的解法,考查分类讨论思想,若二次系数为参数,要按照二次系数的符号讨论;
若△符号不确定,要按△符号讨论;
若△>0,要按照两根大小讨论.属中档题.
通过对a分类讨论,利用一元二次不等式的解法即可得出.
①当a=﹣2时,不等式(x+2)(x﹣a)>0化为(x+2)2>0,解得x≠﹣2,其解集为{x|x∈R,且x≠1}.
②当a>﹣2时,由不等式(x+2)(x﹣a)>0,解得x<﹣2或x>a,其解集为{x|x<﹣2或x>a}.
③当a<﹣2时,由不等式(x+2)(x﹣a)>0,解得x<a或x>﹣2,其解集为{x|x<a或x>﹣2}.
综上可得:
①当a=﹣2时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1}.
②当a>﹣2时,原不等式的解集为{x|x<﹣2或x>a}.
③当a<﹣2时,原不等式的解集为{x|x<a或x>﹣2}.
本题考查了一元二次不等式的解法和分类讨论的方法,属于基础题.
6.当a>﹣1时,解不等式x2﹣(a+1)x﹣2a2﹣a≥0.
把不等式x2﹣(a+1)x﹣2a2﹣a≥0化为(x+a)[x﹣(2a+1)]≥0,讨论a的取值,写出对应不等式的解集.
不等式x2﹣(a+1)x﹣2a2﹣a≥0可化为
(x+a)[x﹣(2a+1)]≥0,
∵a>﹣1,∴﹣a<1,2a+1>﹣1;
当﹣a=2a+1,即a=﹣
时,不等式的解集是R;
当﹣a>2a+1,即﹣1<a<﹣
时,不等式的解集是{x|x≤2a+1,或x≥﹣a};
当﹣a<2a+1,即a>﹣
时,不等式的解集是{x|x≤﹣a,或x≥2a+1}.
∴a=﹣
﹣1<a<﹣
a>﹣
本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题,解题时应在适当地时候,对字母系数进行讨论,是基础题.
7.解关于x的不等式(x﹣1)(ax﹣2)>0.
通过对a分类讨论,利用一元二次不等式的解法即可得出解集.
①当a=0时,不等式(x﹣1)(ax﹣2)>0化为﹣2(x﹣1)>0,即x﹣1<0,解得x<1,
因此解集为{x|x<1}.
②当a>0时,原不等式化为
当a>2时,则
∴不等式(x﹣1)(x﹣
)>0的解集是{x|x>1或x
当a=2时,
=1,
∴不等式化为(x﹣1)2>0的解集是{x|x≠1}.
当0<a<2时,则
)>0的解集是{x|x<1或x
③当a<0时,原不等式化为
则
,∴不等式(x﹣1)(x﹣
)<0的解集是{x|
x<1}.
综上可知:
:
①当a=0时,不等式的解集为{x|x<1}.
②当a>0时,不等式的解集是{x|x>1或x
当a=2时,不等式的解集是{x|x≠1}.
当0<a<2时,不等式的解集是{x|x<1或x
③当a<0时,不等式的解集是{x|
本题考查了分类讨论方法、一元二次不等式的解法,属于中档题.
,其中a≠0.
方程
,其中a≠0两根为1,
,对两根大小分类讨论求解.
当a<0时,
,不等式的解集为
…(3分)
当0<a<1时,
…(6分)
当a=1时,
,不等式的解集为ϕ…(9分)
当a>1时,
…(11分)
综上所述:
当a<0时,或a>1,原不等式的解集为
当0<a<1时,原不等式的解集为
当a=1时,原不等式的解集为ϕ…(12分)
本题主要考查了一元二次不等式的解法,其中主要考查了分类讨论的思想在解题中的应用.
9.解不等式:
把不等式等价变形为(x+1)(mx﹣2)<0,讨论m的取值,从而求出不等式的解集.
原不等式可化为(x+1)(mx﹣2)<0,
当m=0时,不等式为﹣2(x+1)<0,此时解得x>﹣1.
当m≠0,则不等式等价为m(x+1)(x﹣
)<0.
若m>0,则不等式等价为(x+1)(x﹣
)<0,对应方程的两个根为﹣1,
,此时不等式的解为﹣1<x<
若m<0.则不等式等价为(x+1)(x﹣
)>0,对应方程的两个根为﹣1,
若﹣1=
,解得m=﹣2,此时不等式为(x+1)2>0,此时x≠﹣1.
若﹣2<m<0时,
<﹣1,此时不等式的解为x>﹣1或x<
若m<﹣2时,
>﹣1,此时不等式的解为x<﹣1或x>
m>0时,不等式的解集为{x|﹣1<x<
},
m=0时,不等式的解集为{x|x>﹣1};
m=﹣2,不等式的解集为{x|x≠﹣1};
﹣2<m<0,不等式的解集为{x|x>﹣1或x<
m<﹣2,不等式的解集为{m|x<﹣1或x>
本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法问题,解题时
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- 关 键 词:
- 一元 二次 不等式 专项 训练