北京市密云区学年高二上学期期末考试数学理Word格式文档下载.docx
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8.已知正方体,点,,分别
是线段,和上的动点,观察直线与
,与.给出下列结论:
①对于任意给定的点,存在点,使得;
②对于任意给定的点,存在点,使得;
③对于任意给定的点,存在点,使得;
④对于任意给定的点,存在点,使得.
其中正确结论的个数是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
第二部分(非选择题共110分)
1班
2班
3班
女生人数
20
男生人数
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.某校高一年级三个班共有学生名,这三个班的
男、女生人数如表所示.已知在全年级学生中随机
抽取1名,抽到二班女生的概率是.则____;
现用分层抽样的方法在全年级抽取名学生,则应在
三班抽取的学生人数为___.
一班
二班
三班
x
y
z
10.双曲线的离心率等于_____;
渐近线方程为___.
11.执行如图所示的程序框图,输出的值为__________.
12.在某次摸底考试中,随机抽取100
个人的成绩频率分布直方图如图,若参加考试的共有4000人,那么分数在90分以上的人数约为人,根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为.
13.抛物线的焦点为,经过的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,与准线交于点,且于,如果,那么的面积是
14.平面内到定点和定直线的距离之和等于的动点的轨迹为曲线.关于曲线的几何性质,给出下列三个结论:
①曲线关于轴对称;
②若点在曲线上,则;
③若点在曲线上,则.
其中,所有正确结论的序号是_______.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共13分)
一次考试结束后,随机抽查了某校高三
(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表:
学生
数学
89
91
93
95
97
物理
87
92
(Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩哪科更稳定;
(Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.
(注:
,其中为数据的平均数)
16.(本题满分13分)
某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段,,,,,进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下).
(Ⅰ)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生,试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数;
(Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人,求在抽取的2名学生中,恰有1人体育成绩在的概率;
(Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为,且分别在,,三组中,其中.当数据的方差最小时,写出的值.(结论不要求证明)
17.(本小题满分13分)
如图,在直三棱柱中,,,是中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
18.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,,点是的中点,点在边上移动.
(Ⅰ)若为中点,求证:
//平面;
(Ⅱ)求证:
;
(Ⅲ)若二面角的余弦值等于,求的值.
19.(本小题满分13分)
已知抛物线的准线方程是.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设直线与抛物线相交于,两点,为坐标原点,证明:
.
20.(本小题满分14分)
已知为椭圆上的三个点,为坐标原点.
(Ⅰ)若所在的直线方程为,求的长;
(Ⅱ)设为线段上一点,且,当中点恰为点时,判断的面积是否为常数,并说明理由.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
密云区2016—2017学年度第一学期期末考试
高二数学(理)参考答案及评分标准
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
D
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.24,910.11.
12.2600,97.513.14.①②③
备注:
第9题、第10题、第12题两小问,均第一问3分,第二问2分.
第14题答对一个不给分,答对两个给2分
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(Ⅰ)解:
5名学生数学成绩的平均分为:
………………2分
5名学生数学成绩的方差为:
……………3分
5名学生物理成绩的平均分为:
……………………5分
5名学生物理成绩的方差为:
…………6分
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三
(1)班总体物理成绩比数学
成绩稳定.…………………7分
(Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A
5名学生中选2人包含基本事件有:
共10个.………………9分
事件A包含基本事件有:
共7个.………………11分
所以,5名学生中选2人,选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为.……13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
由折线图,知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人,……………2分
所以该校高一年级学生中,“体育良好”的学生人数大约有人.……4分
(Ⅱ)解:
设“恰有1人体育成绩在”为事件,……………5分
设体育成绩在的样本学生为a,b;
体育成绩在的样本学生为A,B;
4名学生中选2人包含基本事件有:
ab,Aa,Ab,Ba,Bb,AB共6个……………7分
Aa,Ab,Ba,Bb共4个.……………8分
由题意,得,
因此恰有1人体育成绩在的概率是.……………9分
(Ⅲ)解:
,的值分别是为,,;
或,,.……………13分
证明:
因为是直三棱柱,
所以,
又,
即.………………2分
如图所示,建立空间直角坐标系.
,,,
所以,,
.………………4分
又因为,,…………6分
所以,,平面.…………7分
由(Ⅰ)知,是平面的法向量,………………9分
,………………10分
则.……………12分
设直线与平面所成的角为,则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.……………13分
(Ⅰ)证明:
在中,因为点是中点,点是中点,
所以//.……………..2分
又因为平面,平面,…………….4分
所以//平面.……………..5分
法2
分别以,,为轴,轴,轴
建立空间直角坐标系(如图).……………..1分
,,,
,,.
于是,.
设平面的一个法向量为,
由得取,则,,……………..2分
得.……………..3分
因为,所以……………..4分
所以……………..5分
(Ⅱ)证明:
因为底面是正方形,所以.
因为底面,所以.
所以平面.……………..6分
由于平面,所以.
由已知,点是的中点,所以.……………..7分
又因为,所以平面.……………..8分
因为平面,所以.……………..9分
设……………..6分
于是,.……………..7分
因为……………..8分
所以……………..9分
(Ⅲ),,,
,.
于是,.
由得取,则,,…………….10分
得.……………..11分
由于,,,所以平面.
即平面的一个法向量为.……………..12分
根据题意,,解得.……………..13分
由于,所以.……………..14分
因为抛物线的准线方程为,………………2分
所以,解得,………………4分
所以抛物线的方程为.………………5分
设,.
将代入,
消去整理得.………………7分
所以.………………8分
由,,两式相乘,得,………………9分
注意到,异号,所以.……………10分
所以直线与直线的斜率之积为
,………………12分
即.………13分
由得,
解得或,……………2分
所以两点的坐标为和,……………4分
所以.……………5分
(Ⅱ)①若是椭圆的右顶点(左顶点一样),则,
因为,在线段上,所以,求得,…6分
所以的面积等于.…………7分
②若B不是椭圆的左、右顶点,设,,
由得,…………8分
,,
所以,的中点的坐标为,……………9分
所以,代入椭圆方程,化简得.…………10分
计算………11分
.………………12分
因为点到的距离.……………13分
所以,的面积.
综上,面积为常数.……………14
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