几何模型一线三等角模型Word文档格式.docx
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同侧
锐角 直角 钝角
异侧
三、“一线三等角”的性质
1。
一般情况下,如图3-1,由∠1=∠2=∠3,易得△AEC∽△BDE、
2、当等角所对的边相等时,则两个三角形全等、如图3—1,若CE=ED,则△AEC≌△BDE、
3。
中点型“一线三等角”
如图3-2,当∠1=∠2=∠3,且 D 是BC中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE。
4、“中点型一线三等角“的变式(了解)
如图 3—3,当∠1=∠2且时,点 O 是△ABC 的内心、能够考虑构造“一线三等角"
。
如图3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关,这是内心的性质,反之未必是内心、
在图3—4(右图)中,假如延长BE 与CF,交于点 P,则点D是△PEF的旁心、
5。
“一线三等角”的各种变式(图3-5,以等腰三角形为例进行说明)
图3-5
事实上这个第 4图,延长 DC 反而好理解、相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?
不管如何变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题
四、“一线三等角”的应用
1、“一线三等角”应用的三种情况。
a。
图形中差不多存在“一线三等角”,直截了当应用模型解题;
b。
图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题;
c、图形中只有直线上一个角,不上“二等角”构造模型解题。
体会:
感受最后一种情况出现比较多,尤其是压轴题中,经常会有一个特别角或指导该角的三角函数值时,我经常构造“一线三等角”来解题、
2、在定边对定角问题中,构造一线三等角是基本手段,尤其是直角坐标系中的张角问题,在x轴或y轴(也能够是平行于x轴或 y轴的直线)上构造一线三等角解决问题更是重要的手段。
3、构造一线三等角的步骤:
找角、定线、构相似
坐标系中,要讲究“线”的特别性
如图3-6,线上有一特别角,就考虑构造同侧型一线三等角
当然只加这两条线通常是不够的,为了利用这个特别角导线段的关系,过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。
两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
上面就是作辅助线的一般程序,看起来线条比较多,特别多老师都认为一下子不容易掌握、
解题示范
例1如图所示,一次函数与坐标轴分别交于A、B 两点,点P是线段 AB上一个动点(不包括A、B两端点),C是线段OB上一点,∠OPC=45°
若△OPC是等腰三角形,求点P的坐标、
例2如图所示,四边形ABCD中,∠C=90°
∠ABD=∠DBC=22、5°
AE⊥BC 于E,∠ADE=67、5°
AB=6,则CE=。
例3如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°
∠ACD=45°
AB=3,AD=5、求 BC的长。
例4如图,△ABC中,∠BAC=45°
AD⊥BC,BD=2,CD=3,求 AD 的长、
一线三等角,补形最重要,内构勤考虑,外构更精妙、找出相似形,
比例不能少、巧设未知数,妙解方程好
依然能够纵横斜三个方向构造,坐标系中一般考虑纵横两个方向构造
例5如图,在△ABC中,∠BAC=135°
AC=AB,AD⊥AC交BC于点D,若AD=,求△ABC的面积
当然有45°
或 135°
等特别角,据此也能够构造不同的一线三等角
一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起,是相似集中条件的一种。
大练身手:
例7:
在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(0,3),C(-3,0),D是线段AB上一点,CD交y轴于E,且S△BCE=2S△AOB、
(1)求直线AB的解析式;
(2)求点D的坐标,猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系,并说明理由;
(3)若F为射线CD上一点,且∠DBF=45°
求点F的坐标、
例8:
如图,直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=ax2交于A、B两点(A在B的左侧),BC=2AC,点P是抛物线上一点、
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在直线AB的下方,求点P到直线AB的距离的最大值;
(3)若点P在直线AB的上方,且∠BPC=45°
求所有满足条件的点P的坐标、
练1:
、如图,抛物线的顶点为C(—1,—1),且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横坐标为-3、
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D为抛物线上的一点,且△BOD的面积等于△BOC的面积,请直截了当写出点D的坐标;
(3)若点E的坐标为(0,2),点P是线段BC上的一个动点,是否存在点P,使得∠OPE=45°
?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由。
课后作业:
如图,点A(0,-1),B(3,0),P为直线y=—x+5上一点,若∠APB=45°
求点P的坐标
在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°
∠ACD=45°
AB=3,AD=4,求AC的长。
如图,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,△EFG为等边三角形,求证:
BE+GC=BC
如图,△ABC△DBA,且AC=BC,求证:
CD=2AB、
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°
AB=3,BC=4,CD=10,DA=,求BD的长
如图,点A是反比例(X>0)图形上一点,点B是X轴正半轴上一点,点C的坐标为(0,2),点△ABC是等边三角形时,求点A的坐标、
如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l:
y=-x+m经过点A,与抛物线交于另一点D(5,—),点P是直线l上方的抛物线上的动点,连接PC、PD。
(2)当△PCD为直角三角形时,求点P的坐标;
(3)设△PCD的面积为S,请您探究:
使S的值为整数的点P共有几个,说明理由。
1、如图1,已知直线y=kx与抛物线 交于点A(3,6)。
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N、试探究:
线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?
假如是,求出这个定值,假如不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重
合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD。
接着探
究:
m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
如图,直线AC:
y=-2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过A、C两点,与x轴交于另一点B(B在A的右侧),且△OBC∽△OCA、
(2)点D为抛物线上一点,∠DCA=45°
求点D的坐标;
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