精选人教版八年级上册数学 全等三角形专题练习解析版Word文档下载推荐.docx
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,EO=BM,可以证明,则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=(EM-ON).
【详解】
(1)如图
(1)作CQ⊥OA于Q,
∴∠AQC=90°
∵为等腰直角三角形,
∴AC=AB,∠CAB=90°
∴∠QAC+∠OAB=90°
∵∠QAC+∠ACQ=90°
∴∠ACQ=∠BAO,
又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,
∴(AAS),
∴CQ=AO,AQ=BO,
∵OA=2,OB=4,
∴CQ=2,AQ=4,
∴OQ=6,
∴C(-6,-2).
(2)如图
(2)作DP⊥OB于点P,
∴∠BPD=90°
∵是等腰直角三角形,
∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°
∵∠OBD+∠BDP=90°
∴∠ABO=∠BDP,
又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°
∴
∴AO=BP,
∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,
∵A,
∴OA=,
∴m+n=,
∴当点B沿y轴负半轴向下运动时,AO=BP=m+n=,
∴整式的值不变为.
(3)
证明:
如图(3)所示,在ME上取一点G使得MG=ON,连接BG并延长,交x轴于H.
∵为等边三角形,
∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°
∴EO=MO,∠EBM=105°
∠1=30°
∵OE=OB,
∴OE=OM=BM,
∴∠3=∠EMO=15°
∴∠BEM=30°
∠BME=45°
∵OF⊥EB,
∴∠EOF=∠BME,
∴,
∴BG=EN,
∵ON=MG,
∴∠2=∠3,
∴∠2=15°
∴∠EBG=90°
∴BG=EG,
∴EN=EG,
∵EG=EM-GM,
∴EN=(EM-GM),
∴EN=(EM-ON).
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的外角与内角的关系,全等三角形的判定与性质,平行线分线段成比例定理的运用.
2.
(1)问题背景:
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°
,∠B=∠ADC=90°
,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°
,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;
(2)探索延伸:
如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°
,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
(3)结论应用:
如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°
的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°
的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°
的方向以80海里/小时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°
,试求此时两舰艇之间的距离.
(4)能力提高:
如图4,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°
.若BM=1,CN=3,试求出MN的长.
(1)EF=BE+FD;
(2)EF=BE+FD仍然成立;
(3)210;
(4)MN=.
试题分析:
(1)由△AEF≌△AGF,得EF=GF,又由BE=DG,得EF=GF=DF+DG=DF+BE;
(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,证明△ABE≌△ADG,再证△AEF≌△AGF,得EF=FG,即可得到答案;
(3)连接EF,延长AE,BF相交于点C,根据探索延伸可得EF=AE+FB,即可计算出EF的长度;
(4)在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM,截取AD=AM,连接CD,DN,证明△ACD≌△ABM,得到CD=BM,再证MN=ND,则求出ND的长度,即可得到答案.
解:
(2)EF=BE+FD仍然成立.
如答图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,
∵∠B+∠ADC=180°
,∠ADG+∠ADC=180°
,∴∠B=∠ADG,
在△ABE与△ADG中,AB=AD,∠B=∠ADG,BE=DG,∴△ABE≌△ADG.
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
又∵∠EAF=∠BAD,
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠BAD-∠BAD=∠BAD,
∴∠EAF=∠GAF.
在△AEF与△AGF中,AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,
∴△AEF≌△AGF.∴EF=FG.
又∵FG=DG+DF=BE+DF.
∴EF=BE+FD.
(3)如答图2,连接EF,延长AE,BF相交于点C,在四边形AOBC中,
∵∠AOB=30°
+90°
+20°
=140°
,∠FOE=70°
=∠AOB,
又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=60°
+120°
=180°
,符合探索延伸中的条件,
∴结论EF=AE+FB成立.
∴EF=AE+FB=1.5×
(60+80)=210(海里).
答:
此时两舰艇之间的距离为210海里;
(4)如答图3,在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM,截取AD=AM,连接CD,DN,
在△ACD与△ABM中,AC=AB,∠CAD=∠BAM,AD=AM,
则△ACD≌△ABM,∴CD=BM=1,∠ACD=∠ABM=45°
,
∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°
∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°
=2∠NAD,
又∵AM=AD,∠NCD+∠MAD=(∠ACD+∠ACB)+90°
=180°
∴对于四边形AMCD符合探索延伸,
则ND=MN,
∵∠NCD=90°
,CD=1,CN=3,
∴MN=ND=.
3.如图,△ABC中,D是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE⊥DF,交AB于点E,连结EG、EF.
(1)求证:
BG=CF;
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由.
(1)详见解析;
(2)BE+CF>EF,证明详见解析
(1)先利用ASA判定△BGDCFD,从而得出BG=CF;
(2)利用全等的性质可得GD=FD,再有DE⊥GF,从而得到EG=EF,两边之和大于第三边从而得出BE+CF>EF.
(1)∵BG∥AC,
∴∠DBG=∠DCF.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF,
在△BGD与△CFD中,
∵
∴△BGD≌△CFD(ASA).
∴BG=CF.
(2)BE+CF>EF.
∵△BGD≌△CFD,
∴GD=FD,BG=CF.
又∵DE⊥FG,
∴EG=EF(垂直平分线到线段端点的距离相等).
∴在△EBG中,BE+BG>EG,
即BE+CF>EF.
本题考查了三角形全等的判定和性质,要注意判定三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、AAS、ASA、HL.
4.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F
(1)证明:
PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°
时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
(1)证明见解析
(2)90°
(3)AP=CE
(1)、根据正方形得出AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°
,结合PB=PB得出△ABP≌△CBP,从而得出结论;
(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP,∠DAP=∠DCP,根据PA=PE得出∠DAP=∠E,即∠DCP=∠E,易得答案;
(3)、首先证明△ABP和△CBP全等,然后得出PA=PC,∠BAP=∠BCP,然后得出∠DCP=∠E,从而得出∠CPF=∠EDF=60°
,然后得出△EPC是等边三角形,从而得出AP=CE.
(1)、在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°
在△ABP和△CBP中,又∵PB=PB∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PA=PE,∴PC=PE;
(2)、由
(1)知,△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°
﹣∠PFC﹣∠PCF=180°
﹣∠DFE﹣∠E,即∠CPF=∠EDF=90°
;
(3)、AP=CE
理由是:
在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP,
在△ABP和△CBP中,又∵PB=PB∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,∠BAP=∠DCP,
∵PA=PE,∴PC=PE,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PC∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°
﹣∠DFE﹣∠E,
即∠CPF=∠EDF=180°
﹣∠ADC=180°
﹣120°
=60°
,∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE
考点:
三角形全等的证明
5.如图1,在等边△ABC中,E、D两点分别在边AB、BC上,BE=CD,AD、CE相交于点F.
(1)求∠AFE的度数;
(2)过点A作AH⊥CE于H,求证:
2FH+FD=CE;
(3)如图2,延长CE至点P,连接BP,∠BPC=30°
,且CF=CP,求的值.
(提示:
可以过点A作∠KAF=60°
,AK交PC于点K,连接KB)
(1)∠AFE=60°
(2)见解析;
(1)通过证明得到对应角相等,等量代换推导出;
(2)由
(1)得到,则在中利用30°
所对的直角边等于斜边的一半,等量代换可得;
(3)通过在PF上取一点K使得KF=AF,作辅助线证明和全等,利用对应边相等,等量代换得到比值.(通过将顺时针旋转60°
也是一种思路.)
(1)解:
如图1中.
∴AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60
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