版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件学案文.docx
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版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件学案文
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
[知识梳理]
1.命题
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题中真假性的等价关系:
原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题,在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
(3)写一个命题的其他三种命题时,需注意:
①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
②当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提;
③对于有多个并列条件的命题,应把其中一个作为大前提.
3.充要条件
(1)集合与充要条件
(2)充分条件与必要条件的两个特征
①对称性:
若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”.
②传递性:
若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)命题“若p,则q”的否定是“若綈p,则綈q”.( )
(3)若命题“若p,则q”为真命题,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )
(4)“x>-1”是“x>0”的充分不必要条件.( )
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)×
2.教材衍化
(1)(选修A1-1P6练习)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
答案 C
解析 若命题为“若p,则q”,命题的逆否命题为“若非q,则非p”,所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数”.故选C.
(2)(选修A1-1P12A组T3)x2-3x+2≠0是x≠1的________条件.
答案 充分不必要
解析 若x2-3x+2≠0则x≠1且x≠2,此时充分性成立,
当x=2时,满足x≠1,但此时x2-3x+2=0成立,即必要性不成立,
即x2-3x+2≠0是x≠1的充分不必要条件.
3.小题热身
(1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 解法一:
∵数列{an}是公差为d的等差数列,
∴S4=4a1+6d,S5=5a1+10d,S6=6a1+15d,
∴S4+S6=10a1+21d,2S5=10a1+20d.
若d>0,则21d>20d,10a1+21d>10a1+20d,
即S4+S6>2S5.
若S4+S6>2S5,则10a1+21d>10a1+20d,即21d>20d,
∴d>0.∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.
故选C.
解法二:
∵S4+S6>2S5⇔S4+S4+a5+a6>2(S4+a5)⇔a6>a5⇔a5+d>a5⇔d>0,∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.故选C.
(2)(2017·山东潍坊高三期末)命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
答案 B
解析 原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或5.
故其逆命题:
“若x2-8x+15=0,则x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题.故选B.
题型1 四种命题的关系及真假判断
已知:
命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )
A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题
B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题
C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题
D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题
本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断.
答案 D
解析 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0恒成立,∴m≤1.
因此原命题是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.故选D.
(2018·黄梅期末)给出下列命题:
①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题;
②命题“△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题;
③命题“若a>b>0,则
>
>0”的逆否命题;
④“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的逆命题.
其中真命题的序号为________.
分清原命题的条件与结论写出所要命题,进行判断.
答案 ①②③
解析 ①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题是“若b2-4ac≥0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”,是真命题;
②命题“△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题是“△ABC是等边三角形,则AB=BC=CA”,是真命题;
③命题“若a>b>0,则
>
>0”是真命题,∴它的逆否命题也是真命题;
④命题“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的逆命题是“若mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R,则m>1”是假命题,
∵不等式的解集为R时,
的解集为∅,∴逆命题是假命题;
∴真命题有①②③.
方法技巧
四种命题关系及真假判断的方法
1.由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,如果命题不是“若p,则q”的形式,应先改写成“若p,则q”的形式;如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变.例如典例2.
2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.例如冲关针对训练2.
冲关针对训练
1.(2018·陕西模拟)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真B.假,假,真
C.真,真,假D.假,假,假
答案 B
解析 先证原命题为真:
当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|=
,∴原命题为真,故逆否命题为真;再证逆命题为假:
取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴逆命题为假,故否命题也为假.故选B.
2.(2017·沐阳县期中)以下四个命题中是真命题的有________(填序号).
①命题“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题;
③命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
答案 ①②
解析 对于①,命题“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,它是真命题;对于②,命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等”,它是真命题;对于③,命题“若A∩B=B,则A⊆B”是假命题,∴它的逆否命题也是假命题;综上,正确的命题是①②.
题型2 充分条件与必要条件的判定
角度1 利用定义判断充分、必要条件
(2018·赣中南五校联考)已知α,β均为第一象限角,那么α>β是sinα>sinβ的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
利用定义结合代特殊值法进行判断.
答案 D
解析 由α,β均为第一象限角,可取α=2π+
,β=
,有α>β,但sinα=sinβ,即α>β不是sinα>sinβ的充分条件;又由α,β均为第一象限角,可取α=
,β=2π+
,有sinα>sinβ成立,但α<β,即α>β不是sinα>sinβ的必要条件,综上所述,α>β是sinα>sinβ的既不充分也不必要条件.故选D.
角度2 等价转化法判断充分、必要条件
(2018·阳山模拟)“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的( )
A.必要不充分条件B.既不充分也不必要条件
C.充要条件D.充分不必要条件
用等价转化法.
答案 A
解析 由题意得:
∵命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”与命题“若a+b=3,则a=1且b=2”互为逆否命题.
∴判断命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”的真假只要判断命题“若a+b=3,则a=1且b=2”的真假即可.
因为命题“若a+b=3,则a=1且b=2”显然是假命题.
所以命题“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”是假命题,
∴a≠1或b≠2推不出a+b≠3.
同理“若a=1且b=2,则a+b=3”是真命题,
∴命题“若a+b≠3,则a≠1或b≠2”是真命题.
∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2.
∴“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件.故选A.
角度3 集合法判断充分、必要条件
(2017·天津高考)设θ∈R,则“
<
”是“sinθ<
”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
集合法.
答案 A
解析 ∵
<
⇔-
<θ-
<
⇔0<θ<
,sinθ<
⇔θ∈
,k∈Z,
,k∈Z,
∴“
<
”是“sinθ<
”的充分而不必要条件.故选A.
角度4 探求结论成立的充分、必要条件
(2018·延安质检)函数f(x)=
有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
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