备战中考数学初中数学 旋转的综合压轴题专题复习附答案解析Word文档格式.docx
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②AE2+DB2=DE2
【解析】
试题分析:
(1)①由等边三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=60°
,求出∠ACF=∠BCD,证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=60°
,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°
;
②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;
(2)①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC,∠BAC=∠B=45°
,证出∠ACF=∠BCD,由SAS证明△ACF≌△BCD,得出∠CAF=∠B=45°
,AF=DB,求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°
②证出∠DCE=∠FCE,由SAS证明△DCE≌△FCE,得出DE=EF;
在Rt△AEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出结论.
试题解析:
解:
(1)①∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠BAC=∠B=60°
.∵∠DCF=60°
,∴∠ACF=∠BCD.
在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=60°
,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°
②DE=EF.理由如下:
∵∠DCF=60°
,∠DCE=30°
,∴∠FCE=60°
﹣30°
=30°
,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF;
(2)①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°
,∴AC=BC,∠BAC=∠B=45°
.∵∠DCF=90°
,∴∠ACF=∠BCD.在△ACF和△BCD中,∵AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=45°
,AF=DB,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°
②AE2+DB2=DE2,理由如下:
∵∠DCF=90°
,∠DCE=45°
,∴∠FCE=90°
﹣45°
=45°
,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE中,∵CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF.在Rt△AEF中,AE2+AF2=EF2,又∵AF=DB,∴AE2+DB2=DE2.
2.如图,正方形ABCD中,点E是BC边上的一个动点,连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90°
,得到AF,连接EF,交对角线BD于点G,连接AG.
(1)根据题意补全图形;
(2)判定AG与EF的位置关系并证明;
(3)当AB=3,BE=2时,求线段BG的长.
(1)见解析;
(2)见解析;
(3)
.
【分析】
(1)根据题意补全图形即可;
(2)先判断出△ADF≌△ABE,进而判断出点C,D,F共线,即可判断出△DFG≌△HEG,得出FG=EG,即可得出结论;
(3)先求出正方形的对角线BD,再求出BH,进而求出DH,即可得出HG,求和即可得出结论.
【详解】
(1)补全图形如图所示,
(2)连接DF,
由旋转知,AE=AF,∠EAF=90°
,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,AD=AB,∠ABC=∠ADC=BAD=90°
∴∠DAF=∠BAE,
∴△ADF≌△ABE(SAS),
∴DF=BE,∠ADF=∠ABC=90°
∴∠ADF+∠ADC=180°
∴点C,D,F共线,
∴CF∥AB,
过点E作EH∥BC交BD于H,
∴∠BEH=∠BCD=90°
,DF∥EH,
∴∠DFG=∠HEG,
∵BD是正方形ABCD的对角线,
∴∠CBD=45°
∴BE=EH,
∵∠DGF=∠HGE,
∴△DFG≌△HEG(AAS),
∴FG=EG
∵AE=AF,
∴AG⊥EF;
(3)∵BD是正方形的对角线,
∴BD=
AB=3
由
(2)知,在Rt△BEH中,BH=
BE=2
∴DG=BD-BH=
由
(2)知,△DFG≌△HEG,
∴DG=HG,
∴HG=
DH=
∴BG=BH+HG=2
+
=
.
【点睛】
此题是四边形综合题,主要考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,正方形的性质,勾股定理,作出辅助线是解本题的关键.
3.如图1,菱形ABCD,
,连接对角线AC、BD交于点O,
如图2,将
沿DB平移,使点D与点O重合,求平移后的
与菱形ABCD重合部分的面积.
如图3,将
绕点O逆时针旋转交AB于点
,交BC于点F,
求证:
求出四边形
的面积.
证明见解析
(1)先判断出△ABD是等边三角形,进而判断出△EOB是等边三角形,即可得出结论;
(2)先判断出≌△OBF,再利用等式的性质即可得出结论;
(3)借助①的结论即可得出结论.
四边形为菱形,
为等边三角形,
∵AD//A′O,
∴∠A′OB=60°
为等边三角形,边长
重合部分的面积:
在图3中,取AB中点E,
由
知,∠EOB=60°
,∠E′OF=60°
∴∠EOE′=∠BOF,
又∵EO=BO,∴∠OEE′=∠OBF=60°
∴△OEE′≌△OBF,
∴EE′=BF,
∴BE′+BF=BE′+EE′=BE=2;
知,在旋转过程中始终有△OEE′≌△OBF,
∴S△OEE′=S△OBF,
S四边形OE′BF=
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,综合性较强,熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.
4.如图1,△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°
,直线l经过点C,AF⊥l于点F,BE⊥l于点E.
(1)求证:
△ACF≌△CBE;
(2)将直线旋转到如图2所示位置,点D是AB的中点,连接DE.若AB=
,∠CBE=30°
,求DE的长.
(1)答案见解析;
(2)
(1)根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°
,根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF,即可得到结论;
(2)连接CD,DF,证得△BCE≌△ACF,根据全等三角形的性质得到BE=CF,CE=AF,证得△DEF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到EF=
DE,EF=CE+BE,进而得到DE的长.
(1)∵BE⊥CE,∴∠BEC=∠ACB=90°
,∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°
,∴∠EBC=∠CAF.∵AF⊥l于点F,∴∠AFC=90°
在△BCE与△ACF中,∵
,∴△ACF≌△CBE(AAS);
(2)如图2,连接CD,DF.∵BE⊥CE,∴∠BEC=∠ACB=90°
在△BCE与△CAF中,∵
,∴△BCE≌△CAF(AAS);
∴BE=CF.∵点D是AB的中点,∴CD=BD,∠CDB=90°
,∴∠CBD=∠ACD=45°
,而∠EBC=∠CAF,∴∠EBD=∠DCF.在△BDE与△CDF中,∵
,∴△BDE≌△CDF(SAS),∴∠EDB=∠FDC,DE=DF.∵∠BDE+∠CDE=90°
,∴∠FDC+∠CDE=90°
,即∠EDF=90°
,∴△EDF是等腰直角三角形,∴EF=
DE,∴EF=CE+CF=CE+BE.∵CA=CB,∠ACB=90°
,AB=4
,∴BC=4.又∵∠CBE=30°
,∴CE=
BC=2,BE=
CE=2
,∴EF=CE+BE=2+2
,∴DE=
点睛:
本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线的性质,证得△BCE≌△ACF是解题的关键.
5.如图,点A是x轴非负半轴上的动点,点B坐标为(0,4),M是线段AB的中点,将点M绕点A顺时针方向旋转90°
得到点C,过点C作x轴的垂线,垂足为F,过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E,连接AC,BC,设点A的横坐标为t.
(Ⅰ)当t=2时,求点M的坐标;
(Ⅱ)设ABCE的面积为S,当点C在线段EF上时,求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(Ⅲ)当t为何值时,BC+CA取得最小值.
(1)(1,2);
(2)S=
t+8(0≤t≤8);
(3)当t=0时,BC+AC有最小值
(I)过M作MG⊥OF于G,分别求OG和MG的长即可;
(II)如图1,同理可求得AG和OG的长,证明△AMG≌△CAF,得:
AG=CF=
t,AF=MG=2,分别表示EC和BE的长,代入面积公式可求得S与t的关系式;
并求其t的取值范围;
(III)证明△ABO∽△CAF,根据勾股定理表示AC和BC的长,计算其和,根据二次根式的意义得出当t=0时,值最小.
(I)如图1,过M作MG⊥OF于G,∴MG∥OB,当t=2时,OA=2.∵M是AB的中点,∴G是AO的中点,∴OG=
OA=1,MG是△AOB的中位线,∴MG=
OB=
×
4=2,∴M(1,2);
(II)如图1,同理得:
OG=AG=
t.∵∠BAC=90°
,∴∠BAO+∠CAF=90°
.∵∠CAF+∠ACF=90°
,∴∠BAO=∠ACF.∵∠MGA=∠AFC=90°
,MA=AC,∴△AMG≌△CAF,∴AG=CF=
t,AF=MG=2,∴EC=4﹣
t,BE=OF=t+2,∴S△BCE=
EC•BE=
(4﹣
t)(t+2)=﹣
t2+
t+4;
S△ABC=
•AB•AC=
•
t2+4,∴S=S△BEC+S△ABC=
t+8.
当A与O重合,C与F重合,如图2,此时t=0,当C与E重合时,如图3,AG=EF,即
t=4,t=8,∴S与t之间的函数关系式为:
S=
(III)如图1,易得△ABO∽△CAF,∴
=2,∴AF=2,CF=
t,由勾股定理得:
AC=
,BC=
,∴BC+AC=(
+1)
,∴当t=0时,BC+AC有最小值.
本题考查了几何变换综合题,知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换(旋转)、三角形的中位线等,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.
6.已知:
如图1,将两块全等的含30º
角的直角三角板按图所示的方式放置,∠BAC=∠B1A1C=30°
,点B,C,B1在同
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