费马点胡不归阿氏圆问题Word文件下载.docx
- 文档编号:13479756
- 上传时间:2022-10-11
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:713.60KB
费马点胡不归阿氏圆问题Word文件下载.docx
《费马点胡不归阿氏圆问题Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《费马点胡不归阿氏圆问题Word文件下载.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
作法
图形
原理
中每一内角都小于120°
,在内求一点,使值最小.
所求点为“费马点”,即满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°
.以AB、AC为边向外
两点之间线段最短.
最小值.
费马,法国业余数学家,拥有业余数学之王的称号,他是解析几何的发明者之一.费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论:
对于一个各角不超过的三角形,费马点是对各边的张角都是的点;
对于有一个角超过的三角形,费马点就是这个内角的顶点.
1.“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
若给定一个三角形的话,从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。
这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
2.若三角形3个内角均小于120°
,那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对三角形三边的张角相等,均为120°
。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
若三角形有一内角大于等于120°
,则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
下面简单说明如何找点,使它到三个顶点的距离之和最小?
这就是所谓的费马点问题.
解析:
如图所示,把绕点逆时针旋转,得到,连接,则为等边三角形,,,
所以,.
点可看成是线段绕点逆时针旋转而得到的定点,为定长,所以当四点在同一直线上时,最小.
这时,
因此,当的每一个内角都小于时,所求的点对三角形每边的张角都是,可按照如上的办法找到点;
当有一内角大于或等于时,所求的点就是钝角的顶点.
费马问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离之和最小,解决问题的方法是运用旋转变换.
1(广东中考题)已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为,求此正方形的边长.
解:
如图所示,连接,把绕点顺时针旋转,得到,连接,可知、都是正三角形,则,
.
点、点为定点(为点绕顺时针旋转所得)
线段即为点到三点的距离之和的最小值,此时两点都在上.
设正方形的边长为,那么,,.
点到的距离之和的最小值为,
,解得.
2(湖州中考题)若点为所在平面上一点,且,则点叫做的费马点.
(1)若点为锐角的费马点,且,,,则的值为
(2)在锐角三角形的外侧作等边,连接,求证:
过的费马点,且
(1)利用相似三角形可求的值为.
(2)设点为锐角的费马点,即
如图,把绕点顺时针旋转到,连接,则为正三角形.
,.
即三点在同一直线上.
同理,三点也在同一直线上
四点在同一直线上,即过的费马点.
又和为等边三角形
,.
变式训练:
(全国初中联赛)如图所示,在中,,点是内的一点,使得,且,,则的值为
2018广州二中二模
胡不归问题
从前,有一个小伙子在外地学徒,当他获悉在家的老父亲病危的消息后,便立即启程赶路。
由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B(如图所示),而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况,当他气喘吁吁地赶到家时,老人刚刚咽了气,小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?
胡不归?
…”。
这个古老的传说,引起了人们的思索,小伙子能否提前到家?
倘若可以,他应该选择一条怎样的路线呢?
这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
若在驿道上行走的速度为,在沙地上行走的速度为,即求的最小值.
例题1、如图,P为正方形ABCD对角线BD上一动点,若AB=2,则AP+BP+CP的最小值为_______
∵正方形ABCD为轴对称图形
∴AP=PC
∴AP+BP+CP=2AP+BP=
∴即求的最小值
接下去就是套路
我们要构造一个出来
连接AE,作∠DBE=30°
,交AC于E,过A作AF⊥BE,垂足为F
在Rt△PBF中,
∵∠PBF=30°
∴
由此我们把构造出来了
∴的最小值即为AF线段的长
∵∠BAE=45°
,∠AEB=60°
∴解直角△ABE,得AO=BO=,OE=,OB=
根据面积法,·
=·
求出AF=
(此外本题费马点亦可)
例题2
图1图2
总结步骤:
第一步:
将所求线段和改写为的形式(<1)
第二步:
在PB的一侧,PA的异侧,构造一个角度α,使得sinα=
第三步:
过A作第二步所构造的角的一边垂线,该垂线段即为所求最小值
第四步:
计算即可
模型具体归纳如下:
(2017广州中考)24.(本小题满分14分)
如图13,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,关于CD的对称图形为
(1)求证:
四边形OCED是菱形
(2)连接AE,若AB=6cm,BC=cm
的值
②若点P是线段AE上的一动点(不与A点重合),连接OP,一动点Q从O点出发,以1的速度延线段OP匀速运动到点P,再以的速度沿线段PA匀速到到点A,到达点A后停止运动,当点Q沿上述路线运动到点A所需的时间最短时,求AP的长和点Q走完全程所需要的时间
练习1如图,一条笔直的公路l穿过草原,公路边有一消防站A,距离公路5千米的地方有一居民点B,A、B的直线距离是13千米.一天,居民点B着火,消防员受命欲前往救火,若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时,而在草地上的最快速度是40千米/小时,则消防车在出发后最快经小时可到达居民点B.(友情提醒:
消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)
练习2
练习3
如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(0,﹣),C(2,0),其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则PB+PD的最小值为 ;
练习4
如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式;
(3)在
(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
阿氏圆问题
阿氏圆也是形如的形式(<1)最终还是化分为整。
概念:
又称阿波罗尼斯圆,已知平面上两点A、B,则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿氏圆。
例1.在△ABC中,∠ABC=90°
,BC=8,AC=6,以C为圆心,4为半径的圆上有一个动点D,连接AD、BD、CD,则BD+AD最小值
根据阿氏圆定义CD/BC=1/2为定值,不妨设BC与圆C交与E点取EC中点F,由已知==,且∠FCD=∠DCB所以△FCD相似于△DCBFD=BD所以BD+AD=FD+ADAF由勾股定理可得AF=2
图1图2
阿氏圆本质与胡不归不同,构造的关键是利用相似三角形的判定:
对应线段成比例夹角相等从而化分为整,最后转化为两点之间线段最短问题
练习1
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点,连结AP,BP,AP+BP的最小值为( )
练习3
如图,半圆的半径为1,AB为直径,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为上一动点,求PC+PD的最小值.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 费马点 胡不归 阿氏圆问题 阿氏圆 问题