概率论五六章习题详解王志刚版文档格式.docx
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所以
,
因此
故由切比雪夫不等式得:
即颗骰子出现点数之和在之间的概率大于等于.
4.对敌阵地进行1000次炮击,每次炮击中。
炮弹的命中颗数的期望为,方差为,求在次炮击中,有颗到颗炮弹击中目标的概率.
以表示第次炮击击中的颗数
有,
据定理:
则
5.一盒同型号螺丝钉共有个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是,标准差是.
求一盒螺丝钉的重量超过的概率.
设为第个螺丝钉的重量,,
且它们之间独立同分布,
于是一盒螺丝钉的重量,
且由,知
,,
由中心极限定理有:
6.用电子计算机做加法时,对每个加数依四舍五入原则取整,设所有取整的舍入误差是相互独立的,且均服从上的均匀分布.
(1)若有个数相加,则其误差总和的绝对值超过的概率是多少?
(2)最多可有多少个数相加,使得误差总和的绝对值小于的概率达到以上.
设为第个加数的取整舍入误差,
则为相互独立的随机变量序列,
且均服从上的均匀分布,则
(1)因很大,
由独立同分布中心极限定理对该误差总和,
即误差总和的绝对值超过的概率达到.
(2)依题意,设最多可有个数相加,则应求出最大的,
使得
由中心极限定理:
即
查正态分布得
取,最多可有个数相加.
7.在人寿保险公司是有3000个同一年龄的人参加人寿保险,在1年中,每人的的死亡率为,参加保险的人在年第天交付保险费元,死亡时家属可以从保险公司领取元,求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率.
解以表示年死亡的人数
依题意,
注意到
其概率为
即保险公司亏本的概率几乎为.
8.假设是独立同分布的随机变量,已知
证明:
当充分大时,随机变量近似服从正态分布.
由于独立同分布,则也独立同分布
由
有,
因此,根据中心极限定理:
即当充分大时,近似服从.
9.某保险公司多年的统计资料表明:
在索赔户中被盗索赔户占,以表示在随机抽查的个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.
(1)写出的概率分布;
(2)利用德莫弗-位普拉斯中心极限定理.
求:
被盗索赔户不少于户,且不多于户的概率.
解
(1),
(2)
10.某厂生产的产品次品率为,为了确保销售,该厂向顾客承诺每盒中有100只以上正品的概率达到95%,问:
该厂需要在一盒中装多少只产品?
设每盒中装只产品,合格品数,
,
解得,即每盒至少装117只才能以95%的概率保证一盒内有100只正品。
11.某电站供应一万户用电,设用电高峰时,每户用电的概率为,利用中心极限定理:
(1)计算同时用电户数在户以上的概率?
(2)若每户用电瓦,问:
电站至少应具有多大发电量,才能以的概率保证供电?
解以表示用电高峰时同时用电的户数
(1)依题意,,又,,
于是据定理:
(2)设电站至少具有瓦发电量,才能的概率保证供电,则因为要:
查表得:
得
即电站具有瓦发电量,才能以的概率保证供电.
(B)
1、设随机变量服从参数为的指数分布,相互独立,且都与的分布相同,求当时,依概率收敛的极限.(答案:
)
2、设相互独立,且分布相同,存在,则根据独立同分布的中心极限定理,当充分大时,近似服从正态分布,求分布参数.(答案:
3、某生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是一个随机变量,其平均值为50kg,标准差为5kg.若用最大载重量为5吨的卡车承运,利用中心极限定理说明,每辆车最多可装多少箱才能保证不超载的概率大于?
(答案:
习题六
1.设是来自上均匀分布的样本,末知,求样本的联合密度函数
解:
2.设总体服从参数为的泊松分布,其概率分布律为:
样本的联合分布律为:
.
3.若总体,其中已知,但末知,而为它的一个简单随机样本,指出下列量中哪些是统计量,哪些不是统计量.
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6)
(1)、(3)、(4)、(6)给出的各统计量,而
(2)、(5)给出的量因含有末知参数,所以不是统计量.
4.总体的一组容量为的样本观测值为:
,求经验分布函数.
解:
将样本观测值重新排序为:
,所以
经验分布函数为:
5.来自总体的一组样本观测值为:
求样本均值,样本方差和样本标准差.
,,.
6.在总体中随机抽取一容量为的样本,求样本均值在到之间的概率.
由知
故所求概率为
7.设随机变量与相互独立,且,证明
由于,则
据分布的定义,.
8.若对总体有,,取的容量为的样本,样本均值为,问多大时,有
由,知
查表得,即.
9.设总体,,并且,相互独立,现从两总体中分别抽取容量为的样本,样本均值分别为,,求.
10.设总体,都服从正态分布,并且,相互独立,,分别是总体和的容量为的样本均值,确定的值,使.
解由于
于是,
即,查表得,,取.
11.设总体,为的一个样本,设,求常数,使分布.
解由于独立同分布
于是=
其中
即.
12.设为来自总体的样本,求.
解设总体为,则由可知
由定理可知
利用分布表,可得
13.设是总体的一个样本,若统计量,试确定与.
解由于独立同分布,所以
且两者相互独立,由分布定义知
故,.
14.设总体,是样本,求的分布.
解记,则有,
由于
则.
下面证明和相互独立.
因为,都服从标准正态分布,因此只要证明,互不相关,即即可.由于,因此,
这样.
15.设总体,,从二总体中分别抽取样本,得到下列数据:
,;
,,
求概率.
故.
从而
B
1.设有个产品,其中有个次品,进行放回抽样,定义如下:
求样本的联合分布.
因为是放回抽样,所以独立同分布,.则的联合分布为
2.设总体,是样本,证明:
证:
由和
使用分布期望和方差的公式,,于是,
3.设是来自正态总体的简单随机样本,
证明统计量服从自由度为的分布.
因为为末知,而,,.
由与的独立性,,故
由正态总体样本方差的性质知,
又由与独立知,与独立,与独立,于是也与独立.从而,由分布随机变量的构造知
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- 概率论 五六章 习题 详解 王志刚版