天津河西区高三一模文数学真题卷Word文档格式.docx

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3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）．

A．B．C．D．

【答案】B

模拟执行程序框图，可得：

，，，

，，

不满足条件，，，

满足条件，退出循环，输出的值为．

4．设，，，则（）．

A．B．C．D．

由题意可知：

所以，，

所以．

5．如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）．

∵函数的图像关于点中心对称，

∴由此易得．

6．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若其渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率等于（）．

取双曲线的一条渐近线，即，

由圆化为．圆心，半径，

∵渐近线与圆相切，

∴化为，

∴该双曲线的离心率．

7．如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是（）．

如图所示，

平行四边形中，，，，

，

∴

∴．

8．已知函数，若的图像与轴有个不同的交点，则实数的取值范围是（）．

由于函数有个零点，则方程有三个根，

故函数与的图像有三个交点，

由于函数，则其图像如图所示，

从图像可知，当直线位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，

因为点能取到，则个选项中区间的右端点能取到，排除；

∴只能从中选，故只要看看选项区间的右端点是选还是选，

设图中切点的坐标为，则斜率，

又满足：

，解得，

∴斜率，

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．设是虚数单位，若复数满足，则__________．

【答案】

∴，，

则复数的模．

故答案为．

10．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是__________．

由三视图知原几何体是一个棱长为的正方体挖去一四棱锥得到的，

该四棱锥的底为正方体的上底，高为，

如图所示：

∴该几何体的体积为．

11．一个口袋内装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球，从中一次随机取出个球，则至少取到个黑球的概率为__________．

一个口袋内装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球，

从中一次随机取出个球，

基本事件总数，

至少取到个黑球的对立事件是取到的两个球都是白球，

∴至少取到个黑球的概率：

．

12．设函数在内可导，且，则__________．

函数在内可导，且，

令，则，故有，即，

∴，故．

13．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

∵，

∵恒成立，

∴，求得，

14．设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，点为线段的中点，若，则直线的斜率等于__________．

设直线的方程为，、、．

解方程组，

化简得：

由，得：

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（分）的内角、、的对边分别为、、，．

（）求．

（）若，求．

（）．

（）中，，

由正弦定理得，

由余弦定理得：

又，

（）由，且，

16．（分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过亩，投入资金不超过万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量，成本和售价如下表：

年产量/亩

年种植成本/亩

每吨售价

黄瓜

吨

万元

韭菜

分别用，表示黄瓜和韭菜的种植面积（单位：

亩）．

（）用，列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．

（）问分别种植黄瓜和韭菜各对少亩能够使一年的种植总利润（总利润总销售收入总种植成本）最大？

并求出此最大利润．

（）平面区域见解析．

（）亩、亩，万元．

（）设黄瓜和韭菜的种植面积分别为，亩，

则目标函数为．

线性约束条件为即，作出不等式组表示的可行域，如图所示：

（）设总利润为万元，由图像易求得点，，，

平移直线，可知当直线经过点，即，时，取得最大值，且（万元）．

故黄瓜和韭菜的种植面积应该分别是亩、亩时，利润最大．

17．（分）已知，平行四边形中，，，，，、分别为线段、的中点．

（）求证：

平面．

平面平面．

（）若，求直线与平面所成角的正弦值．

（）见解析．

【解答】证明：

（）取的中点，连接，，

∴，且，

又∵，四边形是平行四边形，

∴四边形是平行四边形，

又∵平面，平面，

∴平面．

（）在中，

∵，，

在梯形中，

又∵，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面．

解：

（）取的中点，连接，，则，

由（）得平面，

∴是在平面上的射影，且，

∴为直线与平面所成的角，

在中，，

∴直线与平面所成角的正弦值为．

18．（分）已知数列的前项和为，且满足．

（）求数列的通项公式．

（）设，求数列的前项和．

（）当时，，

即：

当时，由得，

显然当时上式也适合，

∴．

（）∵，

19．（分）已知椭圆经过点，一个焦点为．

（）求椭圆的方程．

（）若直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

（）由题意得，解得，，

∴椭圆的方程是．

（）联立，得，

设，，

则有，，

∴线段的中点坐标为，

∴线段的垂直平分线方程为，

取，得，

于是，线段的垂直平分线与轴的交点，

又点，

于是，，

∴的取值范围为．

20．（分）设函数，其中．

（）当时，求曲线在点处的切线方程．

（）当时，求函数的极大值和极小值．

（）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．

（），．

（）解：

当时，，得，

且，，

所以，曲线在点处的切线方程是，

整理得．

令，解得或，

由于，以下分两种情况讨论．

（）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．

因此，函数在处取得极小值，且，

函数在处取得极大值，且．

（）证明：

由，得，当时，，，

由（）知，在上是减函数，要使，，

只要，

即①，

设，则函数在上的最大值为．

要使①式恒成立，必须，即或．

所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．