笔算开立方和N次方上课讲义Word文件下载.docx
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一天,我遇到了一道需要用到
的近似值的物理题。
我没带计算器或《中学数学用表》,只好逐个计算一些数的立方,并与10比较,好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。
这促使我寻求笔算开立方的方法。
笔算开平方的方法我是掌握的。
我想笔算开立方的方法应该与它有些关联,不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下:
1.将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组;
2.根据最左边一组,求得平方根的最高位数;
3.用第一组数减去平方根最高位数的平方,在其差右边写上第二组数;
4.用求得的最高位数的20倍试除上述余数,得出试商。
再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商,若所得的积不大于余数,试商就是平方根的第二位数,若大于,就减小试商再试。
5.用同样方法继续进行下去。
类似地,若要写出笔算开立方的法则,显然第1步中的“两”应改为“三”,第2、3步中的“平”应改为“立”,而第5步不变化。
关键是第4步如何进行。
当天晚上,我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2,完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。
于是我猜想“20倍”应该与“2ab”有关。
我先后想出了几种可能的方法,经检验,都是行不通的。
那么我有必要分析笔算开平方的本质。
以两位数
为例,
=(10a+b)2=100a2+20ab+b2。
这里a代表平方根的最高位数,b代表试商。
事实上,100a2已在第3步里被减去了。
那么剩下的就是20ab+b2,即(20a+b)·
b,也就是“求得的最高位数的20倍与试商的和再乘以试商”。
这样,如果被开方数是(10a+b)2,那么最后所得的余数恰好为零;
如果被开方数比(10a+b)2大,就把10a+b看作a继续进行下去。
同样的道理,这个法则对多位数、一位数和小数也适用。
类似地,(10a+b)3=1000a3+300a2b+30ab2+b3,其中1000a3在开立方法则第3 步里被减去了。
那么我就应该把求得的最高位数
的平方的300倍与试商的积,求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式的左边,用第3 步所得余数减去它们的和。
举几个简单的例子验证一下:
(300=12×
300×
1(600=12×
2(1200=22×
1)
30=1×
30×
12120=1×
2260=2×
12
1=13)8=23)1=13)
为了进一步验证这种方法的正确性,我求出了
的近似值,并与计算器的结果进行比照:
(为了书写简便,我把10.000……后面的“0”省略了。
)
用这种方法算出10的立方根约等于2.1544,而计算器的结果是2.1544347,这说明求出的结果是正确的。
现将笔算开立方的方法总结如下:
1.将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组;
2.根据最左边一组,求得立方根的最高位数;
3.用第一组数减去立方根最高位数的立方,在其右边写上第二组数;
4.用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数,得出试商;
并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边,观察其和是否大于余数,若大于,就减小试商再试,若不大于,试商就是立方根的第二位数;
这种方法肯定早就有人发明了。
其运算量相当大,实用价值也不高。
但我毕竟是独立地发现了它。
虽然欣喜无法与发现新大陆相比,但这至少使我体验到在数学世界中探索的快乐。
此后不久,我居然发现这种方法在期中考试中发挥了作用──
期中考试物理试卷中有这样一道题:
“神舟”三号飞船的运行周期约是91分钟,地球半径约是6370㎞,求飞船的轨道高度(以km为单位,保留两个有效数字)。
这道题并不难。
根据所学知识,我很快就列出方程,并求出了结果的表达式。
经过近似计算和约分、化简,结果大约是(1000
-6370)㎞。
我想大多数同学能够算到这里,而对于
就束手无策了。
但它难不倒我。
我运用了笔算开立方的方法。
由于法则是自己总结的,所以记得很牢,用起来也得心应手。
很快,我求出
≈6.7,最终结果约是3.3×
102㎞。
严格地说,这个答案是不可靠的。
要保证最终结果的第二个有效数字准确,应该把
计算到百分位。
但因时间有限,且300这个数本身就是不准确的,我只好这样写。
后来我看到答案,知道我的结果是正确的。
我感到高兴,因为我自己发现并总结出的规律在考试中得到应用。
我觉得这种笔算开立方的方法不能为大家所知似乎是个遗憾。
但它的应用似乎仅限于这类由周期求轨道半径的物理题,除此之外,别的意义很是寥寥。
换言之,这种方法仅是雕虫小技而已。
然而探索的过程使我体会到初步的数学研究方法,或许将有更大的意义──因为“对真理的探求比对真理的占有更为可贵”。
举例说明:
17开立方.首先求17以内的最大立方数为2^3=8,17-8=9,在9的后面加上三个0,9000
在9000范围内,设立方根的第二位是A,则用2A*A*2*30+A^3,此算式不>
9000,A=5,及立方根的第二位是5用9000-7625=1375,在1375后面加上三个0来求立方根的第三位,
设第三位是B,则用25B*25*B*30+B^3,则B=7,及1375000-1349593=25407,依此类推,求第四位的算式是257C*257*C*30+C^3,可以算出C=1,及25407000-19822411=5584589,在往下5584589000求第五位.17立方根的1前四位是2.571。
2571D*2571*D*30+D^3,D=2
=======================================================
徒手开n次方根的方法:
原理:
设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:
(10*a+b)^n-(10*a)^n<
=c(前一步的差与本段合成);
且b取最大值
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:
我们求2301781.9823406的5次方根:
第1步:
将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'
表示);
不足部分在两端用0补齐;
23'
01781.98234'
06000'
00000'
..........
从高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:
找b,条件:
=c,即b^5<
=23,且为最大值;
显然b=1
差c=23-b^5=22,与下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:
a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,
条件:
=c,即:
(10+b)^5-10^5<
=2201781,
b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:
a=18,找下一个b,
(180+b)^5-180^5<
=41221398234,
b取最大值7
说明:
这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>
>
b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;
与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:
a=187,找下一个b,
(1870+b)^5-1870^5<
=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:
a=1872,找下一个b,
(18720+b)^5-18720^5<
=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000
.............................
最后结果为:
18.724......
开立方
百科名片
求一个数的立方根的运算法,叫做开立方。
最早在我国的九章算术中有对开立方的记载。
笔算开立方的方法
方法一
1.将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组;
2.根据最左边一组,求得立方根的最高位数;
3.用第一组数减去立方根最高位数的立方,在其右边写上第二组数;
4.用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数,得出试商;
5.用同样方法继续进行下去。
方法二
第1、2步同上。
第三步,商完后,落下余数和后面紧跟着的三位,如果后面没有就把余数后面添上三个0;
第四步,将要试商的数代入式子“已商数×
要试商数×
(10×
已商数+要试商数)×
30+要商数的立方”,最接近但不超过第三步得到的数者,即为这一位要商的数。
然后重复第3、4步,直到除尽。
编辑本段开方算法的历史记载
九章算术
《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法,而且计算步骤和现在的基本一样.所不同的是古代用筹算进行演算,现以少广章第12题为例,说明古代开平方演算的步骤,“今有积五万五千二百二十五步.问为方几何.”“答曰:
二百三十五步.”这里所说的步是我国古代的长度单位。
开立方原文
开立方
〔立方适等,求其一面也。
〕
术曰:
置积为实。
借一算,步之,超二等。
〔言千之面十,言百万之面百。
议所得,以再乘所借一算为法,而除之。
〔再乘者,亦求为方幂。
以上议命而除之,则立方等也。
除已,三之为定法。
〔为当
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