八校届高三数学第二次联考试题 理.docx
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八校届高三数学第二次联考试题理
江西省五市八校2018届高三第二次联考数学(理科)试卷
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。
)
1.设集合
,集合
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
2.设
是虚数单位,若复数
是纯虚数,则
的值为( )
A.
B.-2C.2D.
3.
展开式中第
项的系数为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知正数
是
和
的等比中项,则圆锥曲线
的焦点坐标为()
A.
B.
C.
或
D.
或
5.等差数列
的公差
且
,则数列
的前
项和
有最大值,当
取得最大值时的项数
是( )
A.6 B.7 C.5或6 D.6或7
6.执行右面的程序框图,如果输入的
,则输出的
属于()
A.
B.
C.
D.
7.如右图:
网格纸上的小正方形边长都为1,粗线画出的是某几何体的的三视图,则该几何体的体积为()
A.4B.
C.
D.8
8.设
,则
是
的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
9.已知等腰直角
,
,点
分别在边
上,
直线
经过
的重心,则
=()
A.
B.2C.
D.1
10.已知直线
与双曲线
(
)的渐近线交于
两点,且
过原点和线段
中点的直线的斜率为
,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
11.函数
的图像大致是()
ABCD
12.已知函数
.在区间
上,函数
的图象恒在直线
下方,则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-24题为选考题,学生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若函数
为奇函数,
,则不等式
的解集为.
4.若实数
满足不等式组
,则
的最小值是________________.
15.如图所示的几何体是由正四棱锥和圆柱组合而成,且该几何体内接于球(正四棱锥的顶点都在球面上),正四棱锥底面边长为2,体积为
,则圆柱的体积为.
16.已知数列
是等差数列,数列
是等比数列,对一切
,都有
,则数列
的通项公式为.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)设
的三个内角
所对的边分别为
,点
为
的外接圆的圆心,若满足
(1)求角
的最大值;
(2)当角
取最大值时,已知
,点
为
外接圆圆弧上一点,若
,求
的最大值.
18.(本小题满分12分)骨质疏松症被称为"静悄悄的流行病",早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状,针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状,教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关,为了验证猜想,学校组织了一个由学生构成的兴趣小组,联合医院检验科,从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同
学(常喝碳酸饮料的同学30,不常喝碳酸饮料的同学20),对这50名同学进行骨质检测,检测情况如下表:
(单位:
人)
有骨质疏松症状
无骨质疏松症状
总计
常喝碳酸饮料的同学
22
8
30
不常喝碳酸饮料的同学
8
12
20
总计
30
20
50
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关?
(2)现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人,对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究,记甲、乙两同学被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).
附表及公式
19.已知菱形
,
,半圆
所在平面垂直于平面
点
在半圆弧上.(不同于
).
(1)若
与平面
所成角的正弦值为
,求出点
的位置;
(2)是否存在点
使得
若存在,求出点
的位置,若不存在,说明理由.
20.给定椭圆C:
+
=1(a>b>0),称圆C1:
x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知点
是椭圆
上的点.
(1)若过点
的直线
与椭圆
有且只有一个公共点,求
被椭圆
的伴随圆
所截得的弦长;
(2)椭圆
上的
两点满足
(其中
是直线
的斜率),求证:
三点共线.
21.对于函数
,若在其定义域内存在
,使得
成立,则称
为函数
的“反比点”.已知函数
,
(1)求证:
函数
具有“反比点”,并讨论函数
的“反比点”个数;
(2)若
时,恒有
成立,求
的最小值.
请考生在第22-24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)
如图,在三角形ABC中,
=90°,CD⊥AB于D,以CD为直径的圆分别交AC、BC于E、F。
(1)求证:
;
(2)求证:
.
23.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,椭圆
的参数方程为
(
为参数),已知以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线
的极坐标方程为
(
)(注:
本题限定:
,
)
(1)把椭圆
的参数方程化为极坐标方程;
(2)设射线
与椭圆
相交于点
,然后再把射线
逆时针90°,得到射线
与椭圆
相交于点
,试确定
是否为定值,若为定值求出此定值,若不为定值请说明理由.
24.(本小题满分10分)
已知函数
(Ⅰ)解不等式;
;
(Ⅱ)已知
.且对于
,
恒成立,求实数
的取值范围.
江西省五市八校2018届高三第二次联考数学(理科)答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。
)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
B
D
D
C
C
A
A
C
B
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.
14._____
_______.
15.
.16.
.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解:
(1)
……………3分
角
的最大值为
…………………6分
(2)由
(1)及
得三角形
为等边三角形,如图建立平面直坐标系,设角
则点
因为
,
时,
的最大值为1……………………………………………………..12分
18.
解:
(1)由表中数据得
的观测值
所以根据统计有
的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关.)……………5分
(2)由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人,抽取方法有
种,其中甲、乙两人没有一个人被抽到有
种;恰有一人被抽到有
种;两人都被抽到有
种…………………………………7分
可能取值为
,
,
,
1
的分布列为:
.…………………………………12分
19.
解
(1)P为圆弧中点或者靠近点B的三等分点,计算如下:
…………2分
设角
,
平面
的一个法向量为
,
P为圆弧中点或者靠近点B的三等分点…………………………………6分
(设“长度计算的”和“非向量法的”答题酌情给分)
(2)
,
,
,
若
则
,
,则与
矛盾,
…………………………………12分
【注意】(设“长度计算的”和“非向量法的”答题酌情给分)
20.解:
(1)因为点
是椭圆
上的点.
…………………………………1分
当直线
的斜率不存在时:
显然不满足
与椭圆
有且只有一个公共点
当直线
的斜率不存在时:
设直线
与椭圆
联立得
由直线
与椭圆
有且只有一个公共点得
解得
,由对称性取直线
即
…………………3分
圆心到直线
的距离为
直线
被椭圆
的伴随圆
所截得的弦长
………………………6分
(2)设直线
的方程分别为
设点
联立
得
则2
得
同理
斜率
同理
因为
所以
三点共线…………………………………12分
21.解
(1)证明:
设
,
,
∵
,
∴在
上有解,所以函数
具有“反比点”.且有且只有一个;……………………5分
(2)
令
综上所述
,所以
的最小值为1…………………………………12分
请考生在第22-24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)
证明:
(1)∵CD为圆的直径,且E、F与C、D两点重合,
∴DF⊥BC,DE⊥AC,∵
=90°,∴四边形CEDF为矩形,
∴
,且DF//AC,DE//BC.…………1分
∵CD⊥AB于D,CD为圆的直径,∴三角形BCD和三角形ACD分别是以
和
为直角的直角三角形。
…………2分
∵DF⊥BC,DE⊥AC,∴
,
(直角三角形射影定理)……3分
∵DF//AC,DE//BC,∴
(平行线分线段成比例定理)……4分
∴
即
∴
.……5分
(2)由
(1)已证CD⊥AB于D
∵在三角形ABC中,
=90°
∴
.
(1)……7分
又∵
(切割线定理)
∴
(2)……9分
由
(1)与
(2)可得
∴
……10分
23.(本小题满分10分)
解:
(1)∵椭圆
的参数方程为
(
为参数)
∴椭圆
的普通方程为
,…………2分
将一点
化为极坐标
的关系式
带入
可得:
化简得:
…………5分
(2)由
(1)得椭圆的极坐标方程可化为
…………6分
由已知可得:
在极坐标下,可设
,…7分
分别代入
中
有
,
,
…9分
则
即
.故
为定值
.…10分
24.
解:
(Ⅰ)
,………2分
当
时,由
,解得
;
当
时,
不成立;
当
时,由
,解得
.
所以不等式
的解集为
.…5分
(Ⅱ)∵
,∴
……6分
∴对于
,
恒成立等价于:
对
,
,即
……7分
∵
∴
,……9分
∴
……10分
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