百校联盟届高三TOP20四月联考全国II卷数学理试题Word版附详细答案Word文档格式.docx
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的渐近线交于
两点,若
,则双曲线
的渐近线方程为()
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()
8.已知
,则不等式
的解集为()
9.已知数列
中,
A.1028B.1026C.1024D.1022
10.已知
,若存在点
,使得
的取值范围为()
11.已知函数
,则函数
在
上的所有零点之和为()
12.在三棱锥
,平面
和平面
所成角为
,则三棱锥
外接球的体积为()
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数
则
.
14.已知
的展开式中所有项的系数之和为16,则展开式中含
项的系数为.(用数字
作答).
15.抛物线
的焦点为
,其准线为直线
,过点
作直线
的垂线,垂足为
的角平分线所在的直线斜率是.
16.已知
的内角
的对边分别为
的最小值为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列
的前
项和
满足
,且
是
的等差中项,
是等差数列,
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)
,求数列
18.如图所示,在三棱台
和
均为等边三角形,四边形
为直角梯形,
平面
,
分别为
的中点.
(1)求证:
;
(2)求二面角
的余弦值.
19.某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品,为了检测两条生产线产品的质量情况,随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了40件产品作为样本,检测某一项质量指标值
,得到如图所示的频率分布直方图,若
,亦则该产品为示合格产品,若
,则该产品为二等品,若
,则该产品为一等品.
(1)用样本估计总体的思想,从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品,试估计这两件产品中恰好一件为二等品,一件为一等品的概率;
(2)根据图1和图2,对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较,哪一条生产线更好;
(3)从甲生产线的样本中,满足质量指标值
的产品中随机选出3件,记
为指标值
中的件数,求
的分布列和数学期望•
20.已知
为圆
上一动点,圆心
关于
轴的对称点为
,点
分别是线段
上的点,且
(1)求点
的轨迹方程;
(2)直线
与点
的轨迹
只有一个公共点
,且点
在第二象限,过坐标原点
且与
垂直的直线
与圆
相交于
两点,求
面积的取值范围.
21.已知函数
的导函数为
,其中
为自然对数的底数.
(1)求函数
的最大值;
(2)证明:
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),直线
,直线
,以原点
为极点,
轴正半轴为极轴(取相同的长度单位)建立极坐标系.
(1)写出曲线
和直线
的极坐标方程;
(2)若直线
与曲线
两点,直线
两点,求线段
的长度.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知
(1)当
时,求不等式
的解集;
(2)若关于
的不等式
恒成立,求
的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
ACDCB6-10:
BDBDC11、12:
CA
二、填空题
13.014.
15.
16.
三、解答题
17.
(1)由题意知,当
时,
又因为
所以
又
成等差数列,
,所以
,解得
所以数列
是以1为首项,3为公比的等比数列,故
设
的公差为
,
解得
(2)由
(1)得
两式相减得
整理得
18.
(1)取
的中点
,连接
因为
因为三棱台
,所以平面
,因为
(2)取
为正方形,所以
两两互相垂直,分别以
为
轴建立空间直角坐标系,
由
,得
设平面
的一个法向量为
得
令
得
由图观察可知,平面
与平面
所成二面角为钝角,所以其余弦值为
19.
(1)由频率分布直方图可知,甲生产线中二等品的概率为
—等品的概率为
乙生产线中二等品的概率为
一等品的概率为
所以两件产品中一件为二等品,一件为一等品的概率为
(2)设两条生产线样本的平均值分别为
由频率分布直方图可知,甲生产线的数据较为分散,乙生产线的数据较为集中,所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差,所以乙生产线更好.
(3)甲生产线样本质量指标值
的件数为
质量指标值
由题意可知
的取值为0,1,2,3;
的分布列为:
的数学期望
20.
(1)因为
的中点,因为
,所以点
的垂直平分线上,所以
在以
为焦点的椭圆上,
所以点
的轨迹方程为
(2)由
得,
因为直线
与椭圆
相切于点
,即
即点
的坐标为
因为点
在第二象限,所以
设直线
与
垂直交于点
是点
到直线
的距离,
的方程为
当且仅当
有最大值
即
面积的取值范围为
21.
(1)因为
,所以
,令
所以当
的最大值为0,
从而
要证
故只需证
即证
成立;
单调递增,所以当
单调递减,即
单调递减.
当
单调递增,即
单调递增,
由零点存在定理可知,
故当
或
单调递增;
单调递减,
的最小值是
,所以原不等式成立.
22.
(1)依题意,曲线
将
代入上式得,
故直线
的极坐标方程为
(2)设
两点对应的极径分别为
23.
(1)当
时,由
综上所述,
的解集为
(2)不等式
即为
即关于
恒成立,而
时等号成立,所以
的取值范围是
.
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