新教材人教B版数学必修第四册学案1142平面与平面垂直含答案Word格式.docx
- 文档编号:13470260
- 上传时间:2022-10-11
- 格式:DOCX
- 页数:44
- 大小:262.38KB
新教材人教B版数学必修第四册学案1142平面与平面垂直含答案Word格式.docx
《新教材人教B版数学必修第四册学案1142平面与平面垂直含答案Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新教材人教B版数学必修第四册学案1142平面与平面垂直含答案Word格式.docx(44页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
2.平面与平面垂直的判定定理是什么?
3.两平面垂直的性质定理是什么?
1.二面角
(1)二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.
(2)图示与记法
图示
记法
二面角α-l-β或
二面角P-AB-Q或
二面角P-l-Q
(3)二面角的平面角
定义
在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角
(1)在二面角的定义中,根据“从一条直线出发的两个半平面”,想一想,能否用运动的观点定义二面角?
提示:
二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成.
(2)二面角的平面角的定义中,“棱l上”、“在半平面α和β内”、“垂直于棱”可以缺少一个吗?
这三条是构成二面角的平面角的三要素,缺一不可.实际上,二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直.
2.平面与平面垂直
(1)两个平面垂直的定义
如果两个平面α与β所成角的大小为90°
则称这两个平面互相垂直,记作α⊥β.
(2)画法:
两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.
(3)面面垂直的判定定理
判定定理
符号表示
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直
如果l⊂α,l⊥β,则α⊥β
(4)面面垂直的性质定理
性质定理
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
如果α⊥β,α∩β=m,AO⊂α,AO⊥m,则AO⊥β
(1)由面面垂直的定义中“直二面角”可以想到线线垂直和面面垂直有什么关系?
作出二面角的平面角,由二面角的平面角是直角推出两个平面垂直,反之,由两个平面垂直也可以推出二面角的平面角是直角,即实现了线线垂直与面面垂直的相互转化.
(2)由面面垂直的判定定理中“l⊥α,l⊂β”,可以想到线面垂直和面面垂直有什么关系?
可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:
线面垂直,则面面垂直.因此证明面面垂直可转化为证明线面垂直.
(3)性质定理中若去掉在一个平面内即“AO⊂α”,定理是否成立?
不一定成立,如图,a⊥α,这时也有a⊥l,但a与β不垂直.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×
”)
(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.( )
(2)对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.( )
(3)两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直.( )
(4)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β.( )
(1)×
.由二面角的定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以
(1)不对,实质上它共有四个二面角.
(2)×
.对于确定的二面角而言,在其棱上任取两个不同的点,分别作这两个二面角的平面角,因为这两个二面角的平面角所在的边分别平行,且它们的方向相同,所以这两个角相等,即平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,只与二面角的张角大小有关,所以该命题错误.
(3)×
.不一定.只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面.
(4)×
.如图所示,长方体中平面α内有一条直线l垂直于平面β内的一条直线m,但是平面α与平面β不垂直.
2.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,那么有( )
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
【解析】选D.因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,
所以AD⊥平面BCD.
又因为AD⊂平面ADC,
所以平面ADC⊥平面DBC.
3.(教材二次开发:
例题改编)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2
CC1=
二面角C1-BD-C的大小为 .
【解析】如图,连接AC交BD于点O,连接C1O.
因为C1D=C1B,O为BD中点,
所以C1O⊥BD.
因为AC⊥BD,所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,
在Rt△C1CO中,C1C=
可以计算出C1O=2
所以sin∠C1OC=
=
.
所以∠C1OC=30°
答案:
30°
关键能力·
合作学习
类型一 二面角的概念及大小的计算(数学运算、直观想象)
【典例】如图所示,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为
.求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小.
【思路导引】一方面借助侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为
求底面边长和棱锥高的关系,另一方面要作出侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,并解直角三角形求正切值.
【解析】取AD中点M,连接MO,PM,
因为四边形ABCD是正方形,所以OA=OD,所以OM⊥AD,
因为PO⊥底面ABCD,所以∠POA=∠POD=90°
所以△POA≌△POD,所以PA=PD,所以PM⊥AD,
所以∠PMO是侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,因为PO⊥底面ABCD,
所以∠PAO是侧棱PA与底面ABCD所成的角,
所以tan∠PAO=
设正方形ABCD的边长为a,则AO=
a,
所以PO=AO·
tan∠PAO=
a×
所以tan∠PMO=
所以∠PMO=60°
故侧面PAD与底面ABCD所成的二面角是60°
将本例的条件“侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为
”改为“底面边长为a,E是PC的中点.若二面角E-BD-C为30°
”,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】取OC的中点F,连接EF,OE,如图所示,
因为E为PC的中点,
所以EF为△POC的中位线,所以EF∥PO,
因为PO⊥底面ABCD,所以EF⊥底面ABCD,
BD⊂平面ABCD,所以EF⊥BD,
因为OF⊥BD,EF⊥BD,OF∩EF=F,
所以BD⊥平面EOF,OE⊂平面EOF,
所以BD⊥OE,
所以∠EOF为二面角E-BD-C的平面角,
所以∠EOF=30°
因为OF=
OC=
AC=
所以在Rt△EOF中,
EF=OF·
tan30°
所以OP=2EF=
故VP-ABCD=
×
a2×
a=
a3.
1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
2.作二面角的平面角的方法
方法一:
(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.
如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.
方法二:
(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,连接该点与垂足,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.
方法三:
(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
提醒:
二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B-A1C1-B1的正切值.
【解析】取A1C1的中点O,连接B1O,BO.
由题意知B1O⊥A1C1,又BA1=BC1,O为A1C1的中点,所以BO⊥A1C1,所以∠BOB1即是二面角B-A1C1-B1的平面角.
因为BB1⊥平面A1B1C1D1,OB1⊂平面A1B1C1D1,
所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a,则OB1=
在Rt△BB1O中tan∠BOB1=
所以二面角B-A1C1-B1的正切值为
2.如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
【解析】因为E为SC的中点,且SB=BC,
所以BE⊥SC.又DE⊥SC,BE∩DE=E,
所以SC⊥平面BDE,所以BD⊥SC.又SA⊥平面ABC,
可得SA⊥BD,因为SC∩SA=S,所以BD⊥平面SAC,
从而BD⊥AC,BD⊥DE,
所以∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.
设SA=AB=1,在△ABC中,因为AB⊥BC,
所以SB=BC=
AC=
所以SC=2.在Rt△SAC中,∠DCS=30°
所以∠EDC=60°
即二面角E-BD-C为60°
【补偿训练】
1.如图所示的二面角可记为( )
A.α-β-lB.M-l-NC.l-M-ND.l-β-α
【解析】选B.根据二面角的记法规则可知B正确.
2.如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=
AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小.
【解析】因为AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,所以BD⊥平面ACD.
因为AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD,
所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角.在Rt△ACD中,AC=
AD,所以∠ADC=30°
即平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小为30°
类型二 平面与平面垂直的判定(逻辑推理、直观想象)
【典例】1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 .
2.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,四边形BB1D1D是矩形,证明:
平面BDD1B1⊥平面A1C1CA.
【思路导引】1.分这两点的连线与平面之间的关系讨论,得出不同的结论.
2.依据题目条件,要证平面BDD1B1⊥平面A1C1CA,只要证BD⊥平面A1C1CA.
【解析】1.设平面外的点为A,平面内的点为B,过点A作平面α的垂线l,若点B恰为垂足,则所有过AB的平面均与α垂直,此时有无数个平面与α垂直;
若点B不是垂足,则l与点B确定唯一一个平面与α垂直.
1个或无数个
2.由于四边形BB1D1D是矩形,所以BD⊥B1B.
又A1A∥B1B,所以BD
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 新教材 数学 必修 第四 册学案 1142 平面 垂直 答案
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)