第一数学归纳法及其应用毕业论文Word文档格式.docx
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关键词:
归纳法第一数学归纳法不等式数列
1引言
对于数学归纳法的研究国内已有不少论文,这些论文在具体方面做了详尽的论述.同时还有数量不少的论文从数学归纳法的细微处着眼.我国的数学期刊或数理杂志,如《数学教育报》,《数学通报》,《数学通讯》等,刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题.数学归纳法是数学中一种重要的证明方法,也是中学数学一个非常重要的内容,用于证明与无穷的自然数集相关的命题.但凡涉及无穷,总会花费数学家大量时间与精力,去理解并弄清它的真正意义.普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”,自然也需要一个漫长的认识过程.在16世纪晚期,数学归纳法开始出现在代数中.1575年意大利数学家莫洛里克斯(1494-1575)在他的著作《算术》中就提出了这种方法,并证明了
虽然莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底,例如经有限的验证后便以“等等”一类的话代替了必要的演绎,但是可以说莫洛里克斯算是一个与数学归纳法有关的一个早期的数学家,一般认为,历史上第一次成功利用数学归纳法的是17世纪法国数学家帕斯卡(1623-1662),1654年,帕斯卡第一次用数学归纳法证明了指数为正整数时的二项式
展开式的系数公式,从而得到有名的帕斯卡三角阵.
继帕斯卡之后,数学归纳法就成为数学家们手中得心应手的工具,如在费马(1601-1665)、伯努力(1654-1705)、欧拉(1707-1783)这些大数学家们的出色工作中,都可以找到数学归纳法的例子,1889年意大利数学家皮亚诺(C·
Peano,1858~1932,意大利)发表《算术原理新方法》,给出自然数的公里体系,使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础.现在开始我们重新认识一下数学归纳法.
2数学归纳法的原理
2.1归纳法在现实中的一些运用
先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论上来证明这一规律的一般性,这是人们认识客观世界的方法之一.不论在数学上,或在其他场合,从对一系列具体事物的考察中引出一般性结论的推理方法或过程,叫做归纳法.人们从有限的经验中得出经验性的结论是屡见不鲜的,在这个过程中人们自觉或不自觉地运用了归纳法.许多闪烁着人类思想光芒的谚语、成语、格言等,都是应用归纳法的产物.如“兵贵神速”、“骄兵必败”,都是对战争的胜负规律的一种认识,同样“滴水石穿”、“有志竟成”是人们考察了古往今来许多有成就者的经历后得出的.
2.2数学归纳法的本原
理解了归纳法我们再具体到数学中来,以识数为例.小孩子识数,先学会数1个、2个、3个,过些时候,能够数到10了,又过些时候,会数到20,30,…100了,但后来,就不再是这样一段段地增长了,而是飞越前进.倒了某个时候,他领悟了,就什么数都会数了,这一飞跃,竟是从有限到无穷!
怎样会有这种方式呢?
首先,他知道从头数;
其次,他知道一个一个按次序数,而且不愁数了一个以后,下一个不会数,也就是领悟了下一个数的表达方式,可以由上一个数来决定,于是,他也就会数任何数了.解释这个飞跃的原理就是,正是运用了数学归纳法的思想,数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物,由简到繁,由有限到无穷.
1979年6月9日,在英国伦敦,一群记者和上千名观众静静注视着一个人,急切的等待着一项基尼斯世界纪录的诞生.这个人就是迈克·
凯尼,他用13天的时间,用了169713块骨牌搭出一个长达6900米的多米诺牌阵,当迈克·
凯尼走到第一块骨牌前,用手轻轻推到它时,奇迹出现了——将近17万张骨牌组成的长达6900米的多米诺阵在半小时内统统颠覆.这就是神奇的多米诺现象,在这个过程中要使所有的骨牌倒下必须满足两个条件,
(1)第一块骨牌倒下;
(2)任意两块相邻骨牌,只要前一块倒下,后一块必定倒下.这样我们就会发现这与数学中一个极其重要的证明方法——数学归纳法如出一辙.并且摆多米诺阵的人应该注意的关键问题竟然也和使用数学归纳法的人应该注意的关键问题神似韵合.
2.3命题的长蛇阵
在前面我们屡次提到数学归纳法,那么究竟什么是数学归纳法?
我们现在先看一个命题.
试证:
在一个正方形的纸上有
个点,已知这
个点连同正方形的4个顶点,其中任意3点都不共线.试证:
至多可以剪得顶点属于上述
个点的三角形纸片
个.
我们可以把这个命题看成是无穷多个命题组合而成,这无穷多个命题列举如下:
命题1:
在一个正方形纸上有1个点,已知这5个点中任意3点都不共线,证明:
至多可以剪得顶点属于上诉5个点的三角形4个.
命题2:
在一个正方形纸上有2个点,已知这6个点中任意3点都不共线,证明:
至多可以剪得顶点属于上诉6个点的三角形6个.
命题3:
在一个正方形纸上有3个点,已知这7个点中任意3点都不共线,证明:
至多可以剪得顶点属于上诉7个点的三角形8个.
……
命题
:
在一个正方形纸上有
个点中任意3点都不共线证明:
至多可以剪得顶点属于上诉
个点的三角形
个.
:
个点中任意3点都不共线,证明:
上述无穷多个命题排成了一个命题的长蛇阵,它像无穷多个骨牌,一个接着一个的摆放在那里.如何证明这无穷多个命题呢?
命题1的证明:
当正方形内有一点,且五点不共线,则可以如图1所示,得到4个三角形.命题1得证.
命题2的证明:
根据命题1,当正方形中有2点,则另外一点一定在上题所分的4个三角行中任一个中,假设如图2所示,则可看作这一点把其中一个分成3个,即多了2个,有6个,命题2得证.
命题3的证明:
根据命题2,当正方形中有3点,则另外一点一定在上题所分6个三角形中任一个中,假设如图3所示,则可看作是这一点把其中一个分成了3个,即多了2个,共有8个,命题3得证.
继续这个过程,我们可以依次证明命题4、命题5、…….也就是说,我们可以证明这一系列命题中的任何一个命题.因此,一开始给出的命题,当
是任意自然数时都是正确的.
(图1)(图2)(图3)
2.4什么是数学归纳法
在上一部分,我们把一个与自然数有关的命题写成一个命题长蛇阵,然后依次来证明,这种方法显然给人一种繁琐的感觉.但是我们可以看到,从命题2开始,命题长蛇阵中的每一个命题都是在前一个命题成立的基础上被证明的,并且证明的方式很类似.也就是说,命题
是在命题
成立的基础上被证明的.因此我们处理长蛇阵的方法可以改用以下两步:
1.证明命题1成立;
2.根据命题
成立,推出命题
成立.这样根据第二步可知以后每个命题都成立.可见,有这两步已经足够了.如果把命题长蛇阵里的一个命题比作一块骨牌,那么第二步就像把这些骨牌统统摆到了能产生“多米诺”现象的位置,第一步恰如用手指轻轻地推倒了第一块骨牌.仅用这两步就可以使命题长蛇阵中的每一个命题一个接一个的自动证明.
一般来说,一个与自然数
有关的命题可以看成是一个命题长蛇阵.
时为命题1,
时为命题2,依次类推.因此,在证明一个与自然数有关的命题时,可以采用以下两步:
证明
时命题成立;
证明:
如果
时命题成立,那么
时命题也成立.
这种证明方法就叫做数学归纳法.这种方法也可以概括为:
“1对;
假设
对,那么
也对”.这种概括是著名数学家华罗庚提出来的.
2.5数学归纳法的历史与原理
在前面的论述中我们从游戏入手已经基本理解了数学归纳法的基本思想和主要步骤,那么什么事保证数学归纳法的正确性呢?
数学归纳法的背景是什么呢?
在这里我们简要地介绍一下数学归纳法的理论背景.
意大利有一个数学家,名叫皮亚诺(C·
Peano,1858~1932,意大利),他总结了自然数的有关性质,并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理,后人称为“皮亚诺公理”.
1是一个自然数;
1不是任何其他自然数的后继;
每个自然数的后继是自然数;
若两个自然数的后继相等,则这两个自然数也相等;
(归纳公理)自然数的某个集合若含有1,而且如果含一个自然数就一定含有这个自然数的后继,那么这个集合含全体自然数.
其中公理5被称为归纳公理,是数学归纳法的逻辑基础.
自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性,所以也可以把数学归纳法当作公理来看待.所谓公理不是已知数学理论的逻辑推理的产物,而是未经证明的产物,其承认的的根据是生活实践.
3第一数学归纳法
第一步:
当
时,等式成立;
第二步:
假设当
时,这个等式是成立;
也就是假设
3.1第一数学归纳法的步骤及其误区
下面我们具体论述第一数学归纳法的步骤.
设
是一个含有自然数
的命题,利用第一数学归纳法的证明步骤是:
验证
时
成立;
成立,能推出
也成立.
根据
(1)、
(2)知,对一切自然数
成立.
第一数学归纳法的第一个步骤是奠基,是命题论证的基础;
第二个步骤是归纳,是命题的正确性能够由特殊递推到一般的依据.这两个步骤密切相关,缺一不可.如果只有奠基步骤而没有归纳步骤则属于不完全归纳法,因而论断的普遍性是不可靠的.如果只有归纳步骤而没有奠基步骤,则归纳的假设就失去了依据,从而是归纳法步骤的证明失去意义.甚至会导致一些错误.下面我们来看几个例子.
误区一:
忽略了归纳奠基的必要性.
例1试证明
.
错证:
时等式成立,即
时.
则
时等式成立.
根据数学归纳法原理可知,当
是任意自然数时,等式都成立.
事实上我们知道这个题目本身就是错的,但是我们竟然把错误的结论“证明”出来了,此种怪现象出现的原因,就是缺乏归纳奠基这一步.
切莫以为归纳基础这一步就是“当
时命题正确”这么一句话,似乎无关紧要,可有可无.从上例可以看出,不去认真的验证这一步,或者根本没有这一步,都可能陷入错误之中.
误区二:
忽略了归纳递推的必要性
例2求证:
时,得
;
这时等式成立.
时,这个等式成立;
也就是说假设
时,
而
所以
也就是说,当
时,这个等式也是成立的.
归纳步骤完成,结论成立.乍看起来,上面的证明似乎也用到了数学归纳法的两个步骤,特别是也有了第二个步骤,但事实上,在证明等式
的过程中根本没有用到
这个式子.所谓从“
”到“
”的过程,意思是必须把“
”时的命题,当作已经给定的条件(假设),在这个基础上来证明“
”时的命题.
上面这个证明的过程中,只不过是把要证明的公式加以“注解”而已,
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