秋八年级数学上册第十二章全等三角形阶段强化专训新版新人教版含答案.docx
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秋八年级数学上册第十二章全等三角形阶段强化专训新版新人教版含答案
全等三角形
专训一:
全等三角形判定的三种类型
名师点金:
一般三角形全等的判定方法有四种:
SSS,SAS,ASA,AAS;直角三角形是一种特殊的三角形,它的判定方法除了上述四种之外,还有一种特殊的方法,即“HL”.具体到某一道题目时,要根据题目所给出的条件进行观察、分析,选择合适的、简单易行的方法来解题.
已知一边一角型
应用1 一次全等型
1.在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD平分∠BAC.
(第1题)
2.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,连接AD,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F,且BE=CF.
求证:
AD是△ABC的中线.
(第2题)
应用2 二次全等型
3.如图,∠C=∠D,AC=AD,求证:
BC=BD.
(第3题)
4.如图所示,D是△ABC中BC边上一点,E是AD上一点,EB=EC,∠BAE=∠CAE.求证∠ABE=∠ACE.
(第4题)
已知两边型
应用1 一次全等型
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F,试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明你的猜想的正确性.
(第5题)
应用2 两次全等型
6.如图,AB=CB,AD=CD,E是BD上任意一点.求证:
AE=CE.
(第6题)
7.如图,∠BAC是钝角,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,且CD=BE.求证:
∠ADC=∠AEB.
(第7题)
已知两角型
应用1 一次全等型
8.如图,已知∠BDC=∠CEB=90°,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC.求证:
OB=OC.
(第8题)
应用2 两次全等型
9.如图,在△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠BAC=∠CDB,∠ACB=∠DBC,分别延长BA与CD交于点F.求证:
BF=CF.
(第9题)
专训二:
构造全等三角形的六种常用方法
名师点金:
在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线,辅助线能使题目中的条件比较集中,能比较容易找到一些量之间的关系,使数学问题较轻松地解决.常见的辅助线作法有:
构造法、平移法、旋转法、翻折法、倍长中线法和截长补短法,目的都是构造全等三角形.
翻折法
1.如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D.求证:
∠2=∠1+∠C.
(第1题)
基础三角形法
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠ABC=45°,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.
求证:
∠ADC=∠BDF.
(第2题)
旋转法
3.如图,在正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
(第3题)
平移法
4.在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于点P,BQ平分∠ABC交AC于点Q,且AP与BQ相交于点O.求证:
AB+BP=BQ+AQ.
(第4题)
倍长中线法
5.如图,在△ABC中,D为BC的中点.
(1)求证:
AB+AC>2AD;
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
(第5题)
截长补短法
6.如图,AB∥CD,CE,BE分别平分∠BCD和∠CBA,点E在AD上.求证:
BC=AB+CD.
(第6题)
专训三:
角平分线中常用作辅助线的方法
名师点金:
因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等和公共边),所以在处理角的平分线的问题时,常作出全等三角形的第三个条件,截两边相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来构造全等三角形.
作一边的垂线段
1.如图,已知△ABC的周长是20cm,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3cm,求△ABC的面积.
(第1题)
作两边的垂线段
2.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D,证明:
PC=PD.
(第2题)
延长作对称图形法
3.如图,在△AOB中,AO=OB,∠AOB=90°,BD平分∠ABO,AE⊥BD,求证:
BD=2AE.
(第3题)
截取作对称图形法
4.如图,AD为△ABC的中线,DE,DF分别是△ADB和△ADC的角平分线,求证:
BE+CF>EF.
(第4题)
专训四:
六种常见的实际应用
名师点金:
利用三角形全等解决实际问题的步骤:
(1)明确应用哪些知识来解决实际问题;
(2)根据实际问题抽象出几何图形;
(3)结合图形和题意分析已知条件;(4)找到已知与未知的联系,寻求恰当的解决途径,并表述清楚.
利用三角形全等测量池塘两端的距离
1.如图,为了测量出池塘两端A,B之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定点D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度就得到了A,B两点之间的距离.你能说明其中的道理吗?
(第1题)
利用三角形全等测量物体的内径
2.如图,已知零件的外径为a,要求它的厚度x,动手制作一个简单的工具,利用三角形全等的知识,求出x.
(第2题)
利用三角形全等判断三点共线
3.如图,公园里有一条“Z”字形道路ABCD,其中AB∥CD,在AB,BC,CD三段路旁各有一个小石凳E,M,F,且BE=CF,M在BC的中点,试判断三个石凳E,M,F是否恰好在一条直线上?
为什么?
(第3题)
利用三角形全等解决工程中的问题
4.如图,工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔,要使孔口从墙壁对面的点B处打开,墙壁厚35cm,点B与点O的垂直距离AB长20cm,在点O处作一直线平行于地面,再在直线上截取OC=35cm,过点C作OC的垂线,在垂线上截取CD=20cm,连接OD,然后沿着DO的方向打孔,结果钻头正好从点B处打出,这是什么道理?
(第4题)
利用角平分线的性质求面积
5.育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地,如图所示,园艺师傅以角平分线AD为界,在其两侧分别种上了不同的花草,在△ABD区域内种植了一串红,在△ACD区域内种植了鸡冠花,并量得两直角边AB=20m,AC=10m,求两种花草各种植的面积.(第5题)
利用角平分线的判定和性质设计方案
6.如图,三条公路两两相交于A,B,C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,则可供选择的地方有多少处?
(第6题)
答案
专训一
1.证明:
∵BD=DC,
∴∠DBC=∠DCB.
又∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DBC=∠2+∠DCB,
即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠BAD=∠CAD
∴AD平分∠BAC.
2.证明:
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BED=∠CFD=90°.
又∵∠BDE=∠CDF,BE=CF,
∴△DBE≌△DCF.
∴BD=CD.∴D是BC的中点,即AD是△ABC的中线.
3.证明:
过点A作AM⊥BC,AN⊥BD,分别交BC,BD的延长线于点M,N.
∴∠M=∠N=90°.
∵∠ACB=∠ADB,
∴∠ACM=∠ADN.
在△ACM和△ADN中,
∴△ACM≌△ADN(AAS).
∴AM=AN,CM=DN.
在Rt△ABM和Rt△ABN中,
∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL).
∴BM=BN.∴BM-CM=BN-DN,即BC=BD.
4.证明:
过E作EF⊥AB于F,EG⊥AC于G,
则∠AFE=∠AGE=90°.
在△AFE和△AGE中,
∴△AFE≌△AGE(AAS),
∴EF=EG.
在Rt△BFE和Rt△CGE中,
∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL),
∴∠ABE=∠ACE.
5.解:
BF⊥AE.理由如下:
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCD=90°.
又∵BC=AC,BD=AE,
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).
∴∠CBD=∠CAE.
又∵∠CAE+∠E=90°,
∴∠EBF+∠E=90°.
∴∠BFE=90°,即BF⊥AE.
6.证明:
在△ABD和△CBD中
∴△ABD≌△CBD(SSS).
∴∠ABE=∠CBE
在△ABE和△CBE中,
∴△ABE≌△CBE(SAS).
∴AE=CE.
7.证明:
过点B,C两点分别作CA,BA延长线的垂线,垂足分别为F,G.
在△ABF和△ACG中,
∴△ABF≌△ACG(AAS).
∴BF=CG.
在Rt△BEF和Rt△CDG中,
∴Rt△BEF≌Rt△CDG(HL).
∴∠ADC=∠AEB.
点拨:
判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
8.证明:
∵∠BDC=∠CEB=90°,
∴OD⊥AB,OE⊥AC.
∵AO平分∠BAC,∴OD=OE.
在△OBD和△OCE中,
∴△BOD≌△OCE(ASA).
∴OB=OC.
9.证明:
在△ABC和△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(AAS).
∴AC=DB.
又∵∠BAC=∠CDB,
∴∠FAC=∠FDB.
在△FAC和△FDB中,
∴△FAC≌△FDB(AAS).
∴BF=CF.
专训二
1.证明:
如图,延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折,与BC边重合,A点落在F点处,折痕为BE)
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵BD⊥AD,∴∠ADB=∠BDF=90°.
在△ABD和△FBD中,
∴△ABD≌△FBD(ASA).
∴∠2=∠DFB.
又∵∠DFB=∠1+∠C,
∴∠2=∠1+∠C.
(第1题)
2.证明:
如图,过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∵∠ACB=90°,∴∠2+∠ACF=90°.
∵CE⊥AD,
∴∠AEC=90°,∴∠1+∠ACF=180°-∠AEC=180°-90°=90°.
∴∠1=∠2.
在△ACD和△CBG中,
∴△ACD≌△CBG(ASA).
∴∠ADC=∠G,CD=BG.
∵点D为BC的中点,
∴CD=BD.∴BD=BG.
又∵∠DBG=90°,∠DBF=45°,
∴∠GBF=∠DBG-∠DBF=90°-45°=45°.∴∠DBF=∠GBF.
在△BDF和△BGF中,
∴△BDF≌△BGF(SAS).
∴∠BDF=∠G.∴∠ADC=∠BDF.
(第2题)
点拨:
本题运用了构造法,通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键.
3.解:
如图,延长CB到点H,使得BH=DF,连接AH.
∵∠ABE=90°,∠D=90°,∴∠D=
∠ABH=90°.
在△ABH和△ADF中,
∴△ABH≌△ADF.∴AH=AF,∠BAH=∠DAF.
∴∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF,即∠HAF=∠BAD=90°.
∵BE+DF=EF,∴BE+BH=EF,即HE=EF.
在△AEH和△AEF中,
∴△AEH≌△AEF.
∴∠EAH=∠EAF.
∴∠EAF=∠HAF=45°.
(第3题)
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