中考数学专题知识突破专题四探究型问题含详细答案文档格式.docx
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②在①的条件下,延长DD’交CE于点P,连接BD′,CD′.当线段AB、AC满足什么数量关系时,△BDD′与△CPD′全等?
并给予证明.
思路分析:
(1)根据等边三角形的性质可得AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°
,然后求出∠BAE=∠DAC,再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;
(2)①求出∠DAE,即可得到旋转角度数;
②当AC=2AB时,△BDD′与△CPD′全等.根据旋转的性质可得AB=BD=DD′=AD′,然后得到四边形ABDD′是菱形,根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=∠DBD′=30°
,菱形的对边平行可得DP∥BC,根据等边三角形的性质求出AC=AE,∠ACE=60°
,然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=∠ACD′=30°
,从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°
,然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等.
解答:
(1)证明:
∵△ABD和△ACE都是等边三角形.
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°
,
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,
即∠BAE=∠DAC,
在△BAE和△DAC中,
∴△BAE≌△DAC(SAS),
∴BE=CD;
(2)解:
①∵∠BAD=∠CAE=60°
∴∠DAE=180°
-60°
×
2=60°
∵边AD′落在AE上,
∴旋转角=∠DAE=60°
;
②当AC=2AB时,△BDD′与△CPD′全等.
理由如下:
由旋转可知,AB′与AD重合,
∴AB=BD=DD′=AD′,
∴四边形ABDD′是菱形,
∴∠ABD′=∠DBD′=
∠ABD=
60°
=30°
,DP∥BC,
∵△ACE是等边三角形,
∴AC=AE,∠ACE=60°
∵AC=2AB,
∴AE=2AD′,
∴∠PCD′=∠ACD′=
∠ACE=
又∵DP∥BC,
∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°
在△BDD′与△CPD′中,
∴△BDD′≌△CPD′(ASA).
故答案为:
60.
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,以及旋转的性质,综合性较强,但难度不大,熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定是姐提到过.
对应训练
1.(2013•新疆)如图,▱ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
(1)求证:
△AOE≌△COF;
(2)请连接EC、AF,则EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是矩形,并说明理由.
1.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,AB∥CD.
∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF.
∴△AOE≌△COF(ASA);
(2)如图,连接EC、AF,则EF与AC满足EF=AC时,四边形AECF是矩形,
由
(1)可知△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵EF=AC,
∴四边形AECF是矩形.
考点二:
结论探究型:
此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一,而需探索发现与之相应的结论.
例2(2013•牡丹江)已知∠ACD=90°
,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,如图
(1).易证BD+AB=
CB,过程如下:
过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°
,∠ACB+∠ACE=90°
,∴∠BCD=∠ACE.
∵四边形ACDB内角和为360°
,∴∠BDC+∠CAB=180°
.
∵∠EAC+∠CAB=180°
,∴∠EAC=∠BDC.
又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB
,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=
CB.
又∵BE=AE+AB,∴BE=BD+AB,∴BD+AB=
(1)当MN绕A旋转到如图
(2)和图(3)两个位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请写出你的猜想,并对图
(2)给予证明.
(2)MN在绕点A旋转过程中,当∠BCD=30°
,BD=
时,则CD=2
,CB=+1
(1)过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,证明△ACE≌△DCB,则△ECB为等腰直角三角形,据此即可得到BE=
CB,根据BE=AB-AE即可证得;
(2)过点B作BH⊥CD于点H,证明△BDH是等腰直角三角形,求得DH的长,在直角△BCH中,利用直角三角形中30°
的锐角所对的直角边等于斜边的一半,即可求得.
解:
(1)如图
(2):
AB-BD=
证明:
过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,
∵∠ACD=90°
∴∠ACE=90°
-∠DCE,∠BCD=90°
-∠ECD,
∴∠BCD=∠ACE.
∵DB⊥MN,
∴∠CAE=90°
-∠AFC,∠D=90°
-∠BFD,
∵∠AFC=∠BFD,
∴∠CAE=∠D,
又∵AC=DC,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,
∴△ECB为等腰直角三角形,
∴BE=
又∵BE=AB-AE,
∴BE=AB-BD,
∴AB-BD=
如图(3):
BD-AB=
+∠ACB,∠BCD=90°
+∠ACB,
-∠AFB,∠D=90°
-∠CFD,
∵∠AFB=∠CFD,
又∵BE=AE-AB,
∴BE=BD-AB,
∴BD-AB=
(2)如图
(2),过点B作BH⊥CD于点H,
∵∠ABC=45°
,DB⊥MN,
∴∠CBD=135°
∵∠BCD=30°
∴∠CBH=60°
∴∠DBH=75°
∴∠D=15°
∴BH=BD•sin45°
∴△BDH是等腰直角三角形,
∴DH=BH=
BD=
=1,
∴CD=2DH=2,
∴CH=
∴CB=CH+BH=
+1;
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,注意:
全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等,对应角相等.
2.(2013•河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°
,∠B=∠E=30°
(1)操作发现
如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S
2的数量关系是S1=S2
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想
(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°
,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
2.解:
(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,
∴AC=CD,
∵∠BAC=90°
-∠B=90°
-30°
=60°
∴△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°
又∵∠CDE=∠BAC=60°
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC;
②∵∠B=30°
,∠C=90°
∴CD=AC=
AB,
∴BD=AD=AC,
根据等边三角形的性质,△ACD的边AC、AD上的高相等,
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S2;
DE∥AC;
S1=S2;
(2)如图,∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,
∴BC=CE,A
C=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°
,∠DCM+∠BCN=180°
-90°
=90°
∴∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM中,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此时S△DCF=S△BDE,
过点D作DF2⊥BD,
∵∠ABC=60°
∴∠F1DF2=∠ABC=60°
∴△DF1F2是等边三角形,
∴DF1=DF2,
∵BD=CD,∠ABC=60°
,点D是角平分线上一点,
∴∠DBC=∠DCB=
∴∠CDF1=180°
=150°
∠CDF2=360°
-150°
∴∠CDF1=∠CDF2,
∵在△CDF1和△CDF2中,
∴△CDF1≌△CDF2(SAS),
∴点F2也是所求的点,
,点D是角平分线上一点,DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=
又∵BD=4,
4÷
cos30°
=2÷
=
∴BF1=
,BF2=BF1+F1F2=
+
故BF的长为
或
考点三:
规律探究型:
规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列
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