奥数专题之递推文档格式.docx

奥数专题之递推文档格式.docx

《奥数专题之递推文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《奥数专题之递推文档格式.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（A）6种（B）9种

这里，我们引进一个概念：

设a1,a2,a3,…，an是1,2,排列为一个错位排列（也称为更列）

先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4

）

（C）11种

（D）23种

3,…，n的一个排列，如果aii,（i=1,2,…，n）,则称这种

O

更列问题也可以形象地理解为：

将队时，各人都不站在原来的位置上。

例5A、B二人拿两颗骰子做抛掷游戏,骰子的人再继续掷；

若掷出的点数不是第5次仍由A掷的概率。

1,2,3,…，n看成已经排好对的n个人，重新站

规则如下：

若掷出的点数之和为3的倍数时，原掷

A开始掷，求

3的倍数时就由对方接着掷,

第一次由

例6将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端异色。

如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数有多少种?

例7设实数a,b,x,y满足方程组

axby3

2

・2

7

ax

by

3ax

by3

16，

ax4

by4

42

求

ax5by5的值。

例8设an为下列自然数N的个数：

N的各位数字之和为

n，且每位数字只能是

1，3或4.求

证a2n是一个完全平方数。

例9过平面上两点A、B分别有mn条直线，问这m+n条直线最多可以把平面分成多少部分？

（m和n均为正整数）

递推数列求通项问题

一、引例一一斐波那契数列

假定一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔在两个月以后也开始生一

对一雌一雄的小兔子，隔月一次。

年初时兔房里有一对小兔（一雌一雄），问一年以后，兔

房里有多少对兔子？

解：

设第n个月初时兔房里有兔子fn对。

易知

11,f21,f32

n1个月初时已经在兔房

第n2个月初时兔房里的兔子可分为两部分：

一部分是第

里的兔子，共有fn1对，另一部分是第n2个月初时新出生的小兔，共有fn对，于是

fn2fn1fn

•■⑵

这就是为广大中小学生所熟悉的斐波那契数列，它是递推数列的一个典型代表。

二、递推数列

（一）•递推数列的定义

斐波那契数列是递推数列的典型代表，其中

（2）式称为递推式，也称递推关系，

（1）式是

初始条件，这二者是递推数列的必要构成条件。

一般地，我们把满足

..⑹

F（fn,fn1,■■■,fnk1）

和初始值的数列｛fn｝称为

k阶递推数列。

当递推关系的形式为

nkC1fnk1

C2fnk2

CkfnF（n）

时，数列｛fn｝称为k阶常系数线性递推数列，其中C1,C2,…,Ck为常数，且Ck0。

若函数

F（n）0，则递推关系⑺所确定的数列｛fn｝称为k阶常系数齐次线性递推数列；

否则，称递推关系⑺所确定的数列｛fn｝为k阶常系数非齐次线性递推数列。

因此，斐波那契数列是

一个2阶常系数齐次线性递推数列。

递推数列是数列中的一个重要类型，数学竞赛中的数列问题多与递推数列尤其是其通项

有关，且问题多以递推式、不等式等形式出现，本文主要探讨递推数列通项的求法。

（二）递推数列求通项的常用方法

常见的求递推数列通项的方法有：

（1）迭代法：

对所给的递推式进行适当的变形，以便能连续使用下标较小的项代替某些下标较大的项，最后在一般项与初始项之间建立某种练习，从而求通项。

（2）化归法：

把不熟悉的问题转化为熟悉的问题解决是数学中处理问题的常用策略,最常见的是转化为等差或等比数列来解决问题。

（3）累加法：

形如an1anf（n）的递推式，其通项求法多采用累加法，具体操作

见例题3。

（4）累乘法：

形如an1f（n）an的递推式，其通项求法多采用累乘法，具体操作见

例题4。

（5）代换法：

包括代数代换、对数代换、

三角代换等。

代换的优点在于可以使用一些

原本并不明显的性质和运算。

比如三角代换

ansinn,代换后就可以使用三角函数的有

关变换和性质。

（6）数学归纳法：

在递推公式比较复杂,殊化的思想，先通过简单情况的研究提出猜想,

一般情形较难处理时，可以通过一般问题特再用数学归纳法证明。

（7）不动点法：

形如an1r

cand

（其中c0，crbd）的递推式，其通项求法

可米用不动点法。

不妨称X匹丄

CXd

的根为上述数列的不动点，若该数列有两个不动点和，则可令

an1

A岂

an

（其中A为待定常数），代入a,,a2的值可求得A值。

这样数列

是首项为旦

a1

，公比为A的等比数列，于是可求得

an。

若该数列只有一个不动点，则可令一1

A（其中A是待定常数），代

入ai,a2的值可求得A值。

11

1一是首项为一1

，公差为A的等差数列，于

是可求得an。

（8）特征根方法

引例中求斐波那契数列通项公式的方法称为特征根法。

这是一种解常系数齐次线性微分方程时常用的方法，在求解线性递推数列通项时也经常使用。

其中方程

kk1k2

XC1XC2X

Ck•/（8）

对k阶常系数齐次线性递推数

称为数列（7）的特征方程，对应的根称为数列｛fn｝的特征根。

列（7），设其特征根为

1,2,...,t，对应的重数为d1,d2,...

dt,ltk，则数列｛fn｝的通

Bi1Bi2n■■-Bdjn'

项为fnA,（n）1A2（n）n...At（n）：

其中A（n）

这里Bj都是常数，它们由初始值可以确定。

特征根方法使用较多的是求二阶线性递推数列的通项问题。

若递推数列｛fn｝的特征方

程有两个不等实根（称为特征根）

Xi,X2，则递推数列｛fn｝的通项fn

CiXin

CqX；

，其中

Ci,C2由数列的初始值a1a,a2

b唯一确定

CiXi

c2x2a

c2x2

。

若特征方程有两个相

b

等实根xix2

x，则递推数列

{fn}的通项fn（Ci

nc2）xn

，其中Cl,C2由数列的初始

值aia,a?

（Ci

c2）xa

2c2）x2b

三、例题精讲

已知数列

中,

ai

2an4，求此数列的通项an。

已知a1

1,an

3

，求

在数列｛an｝中,

1,an1

1

En

1）,求通项公式a

an,

例4设正数数列a0,

满足Janan2

Jan1an22an1（n2），且

a。

ai1，求｛an｝的通项公式。

例5数列a0,a1,

与bo,b1,定义如下:

ao

an,n0,1,2,

bo

0,1,2,

证明：

对每一个n0,1,2,

有2n

2n2bn

数列｛an｝满足递推式

Cfak

1,2,

，试求｛an｝的通项公式。

在数列an中，a1

1,

3an2，求通项

an4

数列｛Xn｝满足Xo

0且Xn1

3XnJ8x21,求通项公式。

解析几何专题讲座

知识补充（部分）

1直线参数方程的标准式及其应用

xx0tcos厶，，

0,（t为参数）

yytsin

注意：

t的几何意义

2圆锥曲线的焦半径公式及其应用

e的点的轨迹。

这里e€（0,

3圆锥曲线的统一定义及其应用

平面内，到定点的距离与它到定直线的距离之比为一个常数

1）时轨迹是椭圆；

e=1时轨迹是抛物线；

e€（1,+8）时轨迹是双曲线。

4圆锥曲线的极坐标方程

ep

1ecos

问题1:

已知Q为抛物线y2

二几个问题

2px（P0）上的动点，M（m,0）为其对称轴上的点,

试讨论|QM|的最小值，并指出何时取得该最小值。

22

_xy

变式：

椭圆E:

P+刍=1（ab0）上的点Q到其长轴上的点N（m,o）的最小距离。

ab

问题2AB是过抛物线y2px（p>

0）的焦点F的动弦，该抛物线在A,B处的切线交于

M，求动点M的轨迹。

并将问题作进一步的推广。

推广：

AB是过抛物线y22px（p>

0）的点（m,0）的动弦,该抛物线在A,B处的切线交于M，求动点M的轨迹。

问题3直线ym（m0）上任意一点Q（xo,m）引抛物线x2py（p0）的两条切

线，切点分别为A,B，问：

直线AB是否过定点?

问题4求证椭圆的一条弦的两端与焦点所在的轴的端点连线的交点在准线上的充要条件是该弦过椭圆焦点

问题5

过抛物线y22px（p>

0）的焦点F的弦AB，A在准线上的射影为E，求证：

BE

过顶点

0；

并请将该命题推广到椭圆和双曲线情形

推广:

问题

圆锥曲线焦点三角形的一些性质

xy

例题

Fi,F2分别是椭圆E：

p+七=1（ab0）的左右焦点，P是E上的动点，I是三

角形

PFlF2的内心PI与x轴的交点为E，求m的值。

请把该结果推广到双曲线。

对于双曲线

三经典题型

x2

1.已知椭圆——

16

—1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线I:

XJ3y82J30

4

上.当F1PF2取最大值时，比jPFJ的值为

Ipf2|

2.已知点P（1,2）既在椭圆X2界），若a,b€R+,则a+b的最小值为

._._QQ22

1内部（含边界），