高考数学《正弦定理和余弦定理》文档格式.docx
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关系式
a=bsinA
bsinA<
a<
b
a≥b
a>
解的个数
一解
两解
[注意] 上表中A为锐角时,a<
bsinA,无解.
A为钝角或直角时,a=b,a<
b均无解.
3.三角形中常用的面积公式
(1)S=ah(h表示边a上的高).
(2)S=bcsinA=acsin__B=absinC.
(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
常用知识拓展
1.三角形内角和定理
在△ABC中,A+B+C=π;
变形:
=-.
2.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sinC.
(2)cos(A+B)=-cosC.
(3)sin=cos.
(4)cos=sin.
3.三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcosC+ccosB;
b=acosC+ccosA;
c=bcosA+acosB.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;
已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.( )
(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.( )
(3)在△ABC中,sinA>
sinB的充分不必要条件是A>
B.( )
(4)在△ABC中,“a2+b2<
c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.( )
(5)在△ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个.( )
答案:
(1)√
(2)√ (3)×
(4)√ (5)×
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=,A=,则B=( )
A.或 B.
C.D.
解析:
选C.由正弦定理,得=,解得sinB=.又因为在△ABC中,A=,所以B=.故选C.
(教材习题改编)在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=( )
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
选B.cosB===.
所以B=60°
,所以A+C=120°
.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2A=sinA,bc=2,则△ABC的面积为________.
由cos2A=sinA,得1-2sin2A=sinA,解得sinA=(负值舍去),由bc=2,可得△ABC的面积S=bcsinA=×
2×
=.
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则c=________.
由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,所以b=a=3.由余弦定理cosC=,得-=,解得c=4.
4
第1课时 正弦定理和余弦定理
利用正弦、余弦定理解三角形(师生共研)
(1)(2018·
高考全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( )
A.4 B.
C.D.2
(2)在△ABC中,A=,a=c,则=________.
(3)(2019·
贵州贵阳摸底)在△ABC中,内角A,B,C的对边a,b,c成公差为2的等差数列,C=120°
①求边长a;
②求sinA.
【解】
(1)选A.因为cos=,所以cosC=2cos2-1=2×
-1=-.于是,在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×
BC×
cosC=52+12-2×
5×
1×
=32,所以AB=4.故选A.
(2)因为a=c,所以sinA=sinC,因为A=,所以sinA=,所以sinC=,又C必为锐角,所以C=,因为A+B+C=π,所以B=,所以B=C,所以b=c,所以=1.故答案为1.
(3)①由题意得b=a+2,c=a+4,
由余弦定理cosC=得cos120°
=,
即a2-a-6=0,所以a=3或a=-2(舍去),所以a=3.
②由①知a=3,c=7,
由正弦定理得==,即sinA=.
(1)正、余弦定理的选用
①利用正弦定理可解决两类三角形问题:
一是已知两角和一角的对边,求其他边或角;
二是已知两边和一边的对角,求其他边或角;
②利用余弦定理可解决两类三角形问题:
一是已知两边和它们的夹角,求其他边或角;
二是已知三边求角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一的.
(2)三角形解的个数的判断
已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;
已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
1.(一题多解)(2019·
广西五市联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=1,b=,A=30°
,B为锐角,那么A∶B∶C为( )
A.1∶1∶3B.1∶2∶3
C.1∶3∶2D.1∶4∶1
选B.法一:
由正弦定理=,得sinB==.
因为B为锐角,所以B=60°
,则C=90°
,故A∶B∶C=1∶2∶3,选B.
法二:
由a2=b2+c2-2bccosA,得c2-3c+2=0,解得c=1或c=2.当c=1时,△ABC为等腰三角形,B=120°
,与已知矛盾,当c=2时,a<
b<
c,则A<
B<
C,排除选项A,C,D,故选B.
2.(2019·
河南南阳四校联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=8,c=3,A=60°
,则此三角形外接圆的半径R=( )
A.B.
选D.因为b=8,c=3,A=60°
,所以a2=b2+c2-2bccosA=64+9-2×
8×
3×
=49,所以a=7,所以此三角形外接圆的直径2R===,所以R=,故选D.
3.(2018·
高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°
,∠A=45°
,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
解:
(1)在△ABD中,由正弦定理得=.
由题设知,=,所以sin∠ADB=.
由题设知,∠ADB<
90°
,所以cos∠ADB==.
(2)由题设及
(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.
在△BCD中,由余弦定理得
BC2=BD2+DC2-2·
BD·
DC·
cos∠BDC
=25+8-2×
=25.
所以BC=5.
判断三角形的形状(典例迁移)
(1)(一题多解)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.不确定
(2)在△ABC中,若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状为________.
【解析】
(1)法一:
因为bcosC+ccosB=b·
+c·
==a,所以asinA=a即sinA=1,故A=,因此△ABC是直角三角形.
因为bcosC+ccosB=asinA,
所以sinBcosC+sinCcosB=sin2A,
即sin(B+C)=sin2A,所以sinA=sin2A,
故sinA=1,即A=,因此△ABC是直角三角形.
(2)因为c-acosB=(2a-b)cosA,所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,
所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,
故cosA(sinB-sinA)=0,
所以cosA=0或sinA=sinB,
即A=或A=B,
故△ABC为等腰或直角三角形.
【答案】
(1)A
(2)等腰或直角三角形
[迁移探究] (变条件)若将本例
(1)条件改为“2sinAcosB=sinC”,试判断△ABC的形状.
法一:
由已知得2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即sin(A-B)=0,因为-π<
A-B<
π,所以A=B,故△ABC为等腰三角形.
由正弦定理得2acosB=c,再由余弦定理得
2a·
=c⇒a2=b2⇒a=b,
故△ABC为等腰三角形.
判定三角形形状的两种常用途径
[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;
“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.
1.(2019·
广西桂林阳朔三校调研)在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,那么△ABC是( )
A.直角三角形B.钝角三角形
C.锐角三角形D.非钝角三角形
选B.因为a∶b∶c=3∶5∶7,所以可设a=3t,b=5t,c=7t,由余弦定理可得cosC==-,所以C=120°
,△ABC是钝角三角形,故选B.
2.(一题多解)若a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC,那么△ABC一定是( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
选D.法一:
利用边的关系来判断:
由正弦定理得=,由2cosAsinB=sinC,有cosA==.
又由余弦定理得cosA=,
所以=,
即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,
所以a=b.又因为a2+b2-c2=ab.
所以2b2-c2=b2,所以b2=c2,
所以b=c,所以a=b=c.
所以△ABC为等边三角形.
利用角的关系来判断:
因为A+B+C=180°
,所以sinC=sin(A+B),
又因为2cosAsinB=sinC,
所以2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以sin(A-B)=0.
又因为A与B均为△ABC的内角,所以A=B,
又由a2+b2-c2=ab,
由余弦定理,得cosC===,又0°
<
C<
180°
,所以C=60°
,
数学运算——计算三角形中的未知量
数学运算是在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:
理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.
(2018·
高考天津卷节选)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos.
(1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b.
【解】
(1)在△ABC中,由正弦定理=,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos,得asinB=acos,即sinB=cos,可得tanB=.
又因为B∈(0,π),可得B=.
(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,得b2=a2+c2-2accosB=7,故b=.
本题
(1)中利用正弦定理化边为角,
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