高考数学大一轮复习 74基本不等式及其应用学案 理 苏教版Word文件下载.docx
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0,y>
0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当______时,x+y有最____值是______(简记:
积定和最小).
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当______时,xy有最____值是________(简记:
和定积最大).
自我检测
1.“a>
b>
0”是“ab<
”的______________条件.
2.已知函数f(x)=
x,a、b∈(0,+∞),A=f
,B=f(
),C=f
,则A、B、C的大小关系是______________.
3.下列函数中,最小值为4的函数是________(填上正确的序号).
①y=x+
;
②y=sinx+
(0<
x<
π);
③y=ex+4e-x;
④y=log3x+logx81.
4.设函数f(x)=2x+
-1(x<
0),则f(x)最大值为______________.
5.(xx·
山东)若对任意x>
0,
≤a恒成立,则a的取值范围为________.
探究点一 利用基本不等式求最值
例1
(1)已知x>
0,且
=1,求x+y的最小值;
(2)已知x<
,求函数y=4x-2+
的最大值;
(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
变式迁移1 (xx·
重庆改编)已知a>
0,a+b=2,则y=
的最小值是________.
探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用
例2 已知a>
0,a+b=1,求证:
(1+
)(1+
)≥9.
变式迁移2 已知x>
0,z>
0.
求证:
≥8.
探究点三 基本不等式的实际应用
例3 (xx·
镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:
元).
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;
(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?
最少值是多少?
(注:
平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
)
变式迁移3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在xx年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知xx年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.
(1)将xx年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数.
(2)该企业xx年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)
1.a2+b2≥2ab对a、b∈R都成立;
≥
成立的条件是a≥0,b≥0;
≥2成立的条件是ab>
0,即a,b同号.
2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件,并且和为定值时,积有最大值,积为定值时,和有最小值.
3.使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法.一般地函数y=ax+
,当a>
0,b<
0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;
当a<
0时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;
当a>
0时函数在
,
上是减函数,在
上是增函数;
0时,可作如下变形:
y=-
来解决最值问题.
(满分:
90分)
一、填空题(每小题6分,共48分)
1.设a>
0,若
是3a与3b的等比中项,则
的最小值为________.
2.已知不等式(x+y)
≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为________.
3.已知a>
+2
的最小值是______.
4.(xx·
南京模拟)一批货物随17列货车从A市以akm/h的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400km,为了安全,两列车之间的距离不得小于
2km,那么这批货物全部运到B市,最快需要________h.
5.设x,y满足约束条件
,若目标函数z=ax+by(a>
0)的最大值为12,则
6.(xx·
浙江)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.
7.(xx·
江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=
的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是________.
8.已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围为______________.
二、解答题(共42分)
9.(14分)
(1)已知0<
,求x(4-3x)的最大值;
(2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动,求2x+4y的最小值.
10.(14分)经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y=
(v>
0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?
最大车流量为多少?
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?
11.(14分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管).
(1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式;
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小,并求出这个最小值.
学案34 基本不等式及其应用
答案
1.
(1)a≥0,b≥0
(2)a=b 2.
(1)2ab
(2)2 (4)≤
3.
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 4.
(1)x=y 小 2
(2)x=y 大
1.充分不必要 2.A≤B≤C 3.③ 4.-2
-1
5.[
,+∞)
课堂活动区
例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解.基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件.
解
(1)∵x>
=1,
∴x+y=(x+y)
=
+10≥6+10=16.
当且仅当
时,上式等号成立,又
∴x=4,y=12时,(x+y)min=16.
(2)∵x<
,∴5-4x>
y=4x-2+
=-
+3
≤-2
+3=1,
当且仅当5-4x=
即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.
(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴
=1.
=10+
=10+2
≥10+2×
2×
=18,
,即x=2y时取等号.
又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6.
∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18.
变式迁移1
解析 ∵a+b=2,∴
∴
=(
)(
)=
+(
)≥
(当且仅当
,即b=2a时,“=”成立),故y=
的最小值为
例2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简捷的方法.
在不等式证明时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否有误的一种方法.
证明 方法一 因为a>
0,a+b=1,
所以1+
=1+
=2+
.同理1+
所以(1+
)=(2+
)(2+
=5+2(
)≥5+4=9.
)≥9(当且仅当a=b=
时等号成立).
方法二 (1+
)=1+
,因为a,b为正数,a+b=1,
所以ab≤(
)2=
,于是
≥4,
≥8,
因此(1+
)≥1+8=9(当且仅当a=b=
变式迁移2 证明 ∵x>
>
=8.
当且仅当x=y=z时等号成立.
所以(
)≥8.
例3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为:
→
2.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点:
(1)先理解题意,设变量,一般把要求最值的变量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数最值问题;
(3)在定义域内求函数最值;
(4)正确写出答案.
解
(1)依题意得
y=(560+48x)+
=560+48x+
(x≥10,x∈N*).
(2)∵x>
0,∴48x+
≥2
=1440,
当且仅当48x=
,即x=15时取到“=”,
此时,平均综合费用的最小值为560+1440=2000(元).
答 当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2000元.
变式迁移3 解
(1)由题意可设3-x=
将t=0,x=1代入,得k=2.∴x=3-
当年生产x万件时,
∵年生产成本=年生产费用+固定费用,
∴年生产成本为32x+3=32
+3.
当销售x(万件)时,年销售收入为
×
150%+
t.
由题意,生产x万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润y=
(t≥0).
(2)y=
=50-
≤50-2
=50-2
=42(万元),
,即t=7时,ymax=42,
∴当促销费投入7万元时,企业的年利润最大.
课后练习区
1.4
2.4
解析 不等式(x+y)
≥9对任意正实数x,y恒成立,则1+a+
≥a+2
+1≥9,
≥2或
≤-4(舍去).∴正实数a的最小值为4.
3.4
解析 因为
=2
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