湘教版七年级八年级数学知识点总结Word文件下载.docx

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异分母分式相加减：

4、分式方程

概念：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

解分式方程的步骤：

（1）分式方程转化成一元一次方程。

（即：

去分母两边同乘最简公分母，等式的性质，每一项都要乘）

（2）解一元一次方程

（3）检验（代入最简公分母中，等于0分式无解是增根，不等于0分式有解）

（4）写出结果

考点二、整数的乘法

整式的乘法：

（同底数幂相乘，底数不变指数相加）

（幂的乘法，底数不变指数相乘）

（积的乘方，每一个因式的乘方）

（平方差的逆运算）

，（完全平方公式的逆运算）

整式的除法：

（同底数相除，底数不变指数相减）

注意：

（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

（6）

（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

考点三、因式分解（11分）

1、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法

（1）提公因式法：

（2）运用公式法：

（平方差公式）

，（完全平方公式）

（3）分组分解法：

（4）十字相乘法：

3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：

2项式可以尝试运用公式法分解因式；

3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；

4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

考点四、科学记数法和近似数

1、有效数字：

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法：

把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

第二章三角形

考点一、三角形

1、三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；

相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；

相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示

三角形有下面三个特性：

（1）三角形有三条线段

（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形

（3）首尾顺次相接

三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下：

不等边三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：

等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：

三角形的两边之和大于第三边。

推论：

三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：

三角形三个内角和等于180°

。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：

在同一个三角形中：

等角对等边；

等边对等角；

大角对大边；

大边对大角。

8、三角形的面积

三角形的面积=×

底×

高

考点二、命题、定理、证明

1、命题的概念：

判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：

命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题）

命题

假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：

如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：

如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理：

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4、定理：

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5、证明：

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

6、证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

考点三、等腰三角形

1、等腰三角形的定义

有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

2、等腰三角形的性质

①等腰直角三角形是轴对称图形，顶角的角平分线底边上的高底边上的中线所在的直线是对称轴。

②等腰三角形的两底角相等，即等边对等角。

③等腰三角形的顶角的角平分线底边上的高底边上的中线三线重合，即三线合一

（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：

设腰长为a，底边长为b，则<

a

④等腰三角形的三角关系：

设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°

—2∠B，∠B=∠C=

2、等腰三角形的判定

判定1：

定义如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形。

判定2：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即这个三角形是等腰三角形（简称：

等角对等边）。

推论1：

三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：

有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形。

推论3：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：

可以证明两条直线平行。

数量关系：

可以证明线段的倍分关系。

常用结论：

任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：

三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：

三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：

三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：

三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：

三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

考点四、线段的垂直平方线

1、线段的垂直平分线的概念：

垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

2、线段的垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点，到线段两段的距离相等。

3、线段的垂直平分线的推论：

到线段两段距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

（两点确定一条直线）

考点五、全等三角形

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、全等三角形的表示和性质

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、三角形全等的判定

（1）边角边定理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：

有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（4）角角边定理：

有两角和其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

4、全等变换

只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：

把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：

将图形沿某直线翻折180°

，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：

将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

第三章二次根式

考点一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

有理数零有限小数和无限循环小数（整数和分数统称为有理数）

实数负有理数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等

有理数的运算规律到无理数的运算中也适用。

比如加法交换律，乘法结合律等

考点二、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根：

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

平方根的性质：

一个数有两个平方根，他们互为相反数；

零的平方根是零；

负数没有平方根。

正数a的平方根记做“”。

2、算术平方根：

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。

正数和零的算术