第11章典型例题分析2号文档格式.docx
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(1)将生成矩阵G变成典型形式的生成矩阵,即初等行变换将G化为典型阵:
可得矩阵为
, 对应的P矩阵为
可得监督矩阵
H为
,由生成矩阵可得n=6, k=3
(2)由于
即
由此可得监督关系式为
设A为许用码组,则
可计算得该(n,k)码的所有码字如表11-3所示。
(3)由上得出的许用码组可知,该线性码的最小码重d0=3(全0码除外).
例11-2已知(7,3)码的生成矩阵G如下,列出所有许用码组并求监督矩阵
(1)
,用所有可能的M计算后得到:
M
A
000
0000000
100
1001110
001
0011101
101
1010011
010
0100111
110
1101001
011
0111010
111
1110100
系统码生成矩阵是
由此得监督矩阵:
例11-4已知某线性码监督矩阵如下,列出所有许用码组。
分析:
考察信息码元。
监督码元,监督矩阵,生成矩阵,许用码组等基本概念及相互之间的关系。
对于(n,k)分组码,r=n-k。
监督矩阵H与生成矩阵G为典型阵,即可写成G=[I
kQ]的形式,则令P=QT,有监督矩阵H=[PIr].反过来,也可由监督矩阵H求出生成矩阵G。
若生成矩阵不是典型阵,则应先通过初等变换,将其化成典型矩阵,再求监督矩阵。
生成矩阵G,许用码组A和信息码元(行向量)M之间的关系为:
A=MG。
本题中n=7,r=3,k=4,H为典型阵,有:
,所以,
生成矩阵
许用码组 A=MG=
或者由G可得全部许用码组:
1000111,0100110,0010101,0001011,1100001,0011110,1010010,1001100
1110100,1011001,0111000,1101010,0110011,11011010,1111111,0000000
例11-5设某线性码的生成矩阵为
(1)确定(n,k)码中n,k值;
(2)求典型生成矩阵G;
(3)求典型监督矩阵H;
(4)列出全部码组;
(5)求d0;
(5)列出错误图样表。
(1)由于生成矩阵为k行,n列,因此k=3,n=6,r=3.本码组为(6,3)码。
(2)对原矩阵作线性变换:
①原矩阵第1行与第3行交换
②原矩阵的第1行+第3行作为新矩阵的第2行
③原矩阵的第1、2、3行之和作为新矩阵的第3行,得典型生成矩阵
,且
(3)
(4)把生成矩阵取各行相加,可得例11-5表1中码组。
(5)由例11-5表可得d0=3.
(6)错误图样见例11-5表2.校正子有rbit,这里r=3,因而标以S1S2S3。
而S1S2S3下面的内容即为典型监督矩阵的转置HT(错码位置按高位到低位排列)。
例11-5表1例11-5表2
码组编号
a5
a4
a3
a2
a1
a0
错码位置
S1
S2
S3
1
2
3
4
5
6
7
8
无错
说明:
①本题为(6,3)码,属线性分组码,是系统码,编码效率R=1/2.
②d0=3,可纠错一位。
纠错时,先由接收码B计算出校正子S=BHT,后再查表例11-5表2改错。
由于n=6,故表中S的比特图案少了一种(111),它对应于错多位的情况。
例11-6已知(7,3)循环码的全部码组为(0000000),(0011101),(0111010),(1110100),(1101001),(1010011),(0100111),(1001110)。
试求:
(1)生成多项式g(x);
(2)典型生成矩阵G;
(3)典型监督矩阵H;
(4)列出错码图样表.
(1)根据生成多项式含义找到题中第2码组:
(0011101),对应有
(2)
即
,典型阵
(3)由G知,
,
(4)d0=4,所以t=1.列出错码图样如例11-6表所示。
例11-6表
S4
a6
例11-7设一线性分组码的信息位与监督位之间的关系为:
(1)求典型阵H,G;
(2)列出全部许用码组;
(3)说明其纠、检错能力;
(4)列出纠错一位时的错码图样表;
(5)若编码器输出码元速率为350Bd,求其输入码元速率。
由原式可写得:
,即
,并得:
(2)利用G矩阵各行相加即可得到全部码组,如例11-7表所示。
例11-7表1
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)由表可见,d0=3,于是:
t=1或e=2.
(4)由S=EHT,得:
由此可列出错一位时的错误图样,如例11-7表2所示,表中内容恰为HT(除无错时应全为全为0码外)。
(5)编码效率R=k/n=4/7
于是,输入码元速率=R输出码元速率=4/7350=200(Bd)
例11-7表2
附录:
矩阵乘法
例1:
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