高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值Word文档格式.docx
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所以sin(α+β)=
,因此tan(α+β)=-2.
因为tanα=
,所以tan2α=
=-
因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=
考点整合
1.三角函数公式
(1)同角关系:
sin2α+cos2α=1,
=tanα.
(2)诱导公式:
对于“
±
α,k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:
奇变偶不变,符号看象限.
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
sin(α±
β)=sinαcosβ±
cosαsinβ;
cos(α±
β)=cosαcosβ±
sinαsinβ;
tan(α±
β)=
(4)二倍角公式:
sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(5)辅助角公式:
asinx+bcosx=
sin(x+φ),其中cosφ=
,sinφ=
2.公式的变形与应用
(1)tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);
tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).
(2)升幂、降幂公式
1+cosα=2cos2
,1-cosα=2sin2
;
sin2α=
,cos2α=
(3)角的拆分与组合
2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β);
α=(α+β)-β=(α-β)+β;
α=
-
+
等.
热点一 三角函数式的化简与求值
【例1】
(1)(2018·
泰州模拟)化简:
=________.
(2)若tanα=2tan
,则
解析
(1)原式=
cos2x.
(2)
=3.
答案
(1)
cos2x
(2)3
探究提高
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
一看角,二看名,三看式子结构与特征.
(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
【训练1】
(1)(2018·
徐州调研)计算:
tan70°
cos10°
(
tan20°
-1)=________.
(2)若α∈
,且3cos2α=sin
,则sin2α的值为________.
·
=-1.
(2)由cos2α=sin
=sin
=2sin
cos
代入原式,得6sin
∵α∈
,∴
-α∈
,sin
≠0,
∴cos
,∴sin2α=cos
=2cos2
-1=-
答案
(1)-1
(2)-
热点二 三角函数的求值(求角)
【例2】
(1)(2018·
全国Ⅲ卷改编)若sinα=
,则cos2α=________.
(2)(2017·
南京、盐城联考)已知α,β为锐角,cosα=
,sin(α+β)=
,则cosβ=________.
(3)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=
,tanβ=-
,则2α-β的值为________.
解析
(1)cos2α=1-2sin2α=1-2×
(2)∵α为锐角,∴sinα=
.∵α,β∈
,∴0<α+β<π.
又∵sin(α+β)<sinα,∴α+β>
,∴cos(α+β)=-
cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
×
(3)∵tanα=tan[(α-β)+β]=
>0,
∴0<α<
.又∵tan2α=
∴0<2α<
,∴tan(2α-β)=
=1.
∵tanβ=-
<0,∴
<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-
(2)
(3)-
探究提高
(1)给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法;
(2)给值求角问题:
先求角的某一三角函数值,再求角的范围确定角.
【训练2】
(1)(2015·
江苏卷)已知tanα=-2,tan(α+β)=
,则tanβ的值为________.
(2)已知sinα=
,sin(α-β)=-
,α,β均为锐角,则角β等于________.
解析
(1)∵tanα=-2,∴tan(α+β)=
,解得tanβ=3.
(2)∵α,β均为锐角,∴-
<α-β<
.又sin(α-β)=-
∴cos(α-β)=
.又sinα=
,∴cosα=
∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)
∴β=
答案
(1)3
(2)
(3)(2018·
浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P
①求sin(α+π)的值;
②若角β满足sin(α+β)=
,求cosβ的值.
解 ①由角α的终边过点P
得sinα=-
,所以sin(α+π)=-sinα=
②由角α的终边过点P
得cosα=-
由sin(α+β)=
得cos(α+β)=±
由β=(α+β)-α得cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,
所以cosβ=-
或cosβ=
热点三 三角恒等变换的应用
【例3】(2018·
苏州期末)已知函数f(x)=(
cosx+sinx)2-2
sin2x.
(1)求函数f(x)的最小值,并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合;
(2)若x∈
,求函数f(x)的单调递增区间.
解
(1)因为f(x)=3cos2x+2
cosxsinx+sin2x-2
sin2x
(1+cos2x)+
sin2x+
(1-cos2x)-2
sin2x+cos2x+2=2sin
+2.
所以函数f(x)的最小值是0,
此时2x+
=2kπ+
,k∈Z,即x的取值集合为
(2)当x∈
时,2x+
∈
令-
≤2x+
≤
或
,得-
≤x≤-
≤x≤
所以f(x)的单调递增区间是
和
探究提高 三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住:
变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;
注意公式的逆用和变形用.
(2)把形如y=asinx+bcosx化为y=
sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性等性质.
【训练3】已知函数f(x)=4tanxsin
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间
上的单调性.
解
(1)f(x)的定义域为
f(x)=4tanxcosxcos
=4sinxcos
=4sinx
=2sinxcosx+2
sin2x-
=sin2x+
(1-cos2x)-
=sin2x-
cos2x=2sin
所以f(x)的最小正周期T=
=π.
(2)由-
+2kπ≤2x-
+2kπ,k∈Z,得-
+kπ≤x≤
+kπ,k∈Z.
由
+2kπ,k∈Z,得
所以当x∈
时,f(x)在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
1.对于三角函数的求值,需关注:
(1)寻求角与角关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,熟练准确地应用公式;
(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用;
(3)对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,对于很难入手的问题,可利用分析法.
2.对于三角恒等变换的应用问题,可以运用化归思想和整体代换思想解决问题.讨论形如y=asinωx+bcosωx函数的性质,可先化为y=
sin(ωx+φ)型的函数.
一、填空题
1.计算:
解析 原式=
=-4.
答案 -4
全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则f(x)的最大值为________.
解析 易知f(x)=2cos2x-sin2x+2=3cos2x+1=3
+1=
cos2x+
,当x=kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值,最大值为4.
答案 4
3.(2018·
南京、盐城模拟)已知锐角α,β满足(tanα-1)·
(tanβ-1)=2,则α+β的值为________.
解析 因为(tanα-1)(tanβ-1)=2,所以tanαtanβ-(tanα+tanβ)+1=2,即
=-1,所以tan(α+β)=-1.又α,β为锐角,所以α+β∈(0,π),即α+β=
π.
4.(2017·
苏、锡、常、镇调研)已知α是第二象限角,且sinα=
,tan(α+β)=-2,则tanβ=________.
解析 由α是第二象限角,且sinα=
,则cosα=-
则tanα=
=-3,所以tanβ=tan[(α+β)-α]=
5.(2018·
常州期末)满足等式cos2x-1=3cosx(x∈[0,π])的x的值为________.
解析 由题意可得,2cos2x-3cosx-2=0,解得cosx=-
或cosx=2(舍去).又x∈[0,π],故x=
6.(2018·
全国Ⅱ卷)已知tan
解析 法一 因为tan
,所以
即
,解得tanα=
法二 因为tan
,所以tanα=tan
7.(2012·
江苏卷)设α为锐角,若cos
,则sin
的值为________.
解析 ∵α为
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