中值定理的证明题Word格式文档下载.docx

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（1）在上连续

（2）在内可导

（3）

则一定存在使得

3、拉格朗日中值定理

则一定存在，使得

4、柯西中值定理

若函数满足:

则至少有一点使得

5、泰勒公式

如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数,则当在内时,可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即

其中（介于与之间）.

在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：

1．展开的基点；

2．展开的阶数；

3．余项的形式．

其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．

而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．

6、积分中值定理

若f（x）在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]，使得

f（x）dx=f（c）（b-a）

三、典型题型与例题

题型一、与连续函数相关的问题（证明存在使或方程f（x）=0有根）

方法：

大多用介值定理f（x）满足：

在[a,b]上连续；

f（a）f（b）<

0.

思路：

1）直接法

2）间接法或辅助函数法

例1、设在[a,b]上连续，，证明存在，使得

例2、设在[a,b]上连续、单调递增，且，证明存在使得

例3、设在[a,b]上连续且，证明存在使得。

例4、设在[a,b]上连续，证明存在使得

例5、设f（x）在[0,1]上连续，且f（x）<

1.证明：

在（0,1）内有且仅有一个实根。

例6、设实数满足关系式，证明方程

，在内至少有一实根。

例7、（0234，6分）

设函数f（x）,g（x）在[a,b]上连续，且g（x）>

0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点使得

题型二、验证满足某中值定理

例8、验证函数，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的

题型三、证明存在,使（n=1,2,…）

方法：

思路：

例9、设在[a,b]上可导且，证明至少存在一个

使得

例10、设在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且，证明存在一个使得

例11、设在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且，证明存在使得

题型四、证明存在,使

（1）用罗尔定理

1）原函数法:

步骤：

例12、设在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且，求证存在使得

例13、（0134）设f（x）在[0,1]上连续，（0,1）内可导，且

证明：

在（0,1）内至少存在一点,使

例14、设f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f（a）f（b）>

0,f（a）g（x）在[a,b]上连续，试证对.

例15、设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且.

试证：

使得.

[证]令，则F（0）=F

（1）=0.又

于是，使，即

设则，使得

，即.

2）常微分方程法:

适用:

步骤：

例16、设在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且，证明存在使得

例17、设f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f（0）=0,f

（1）=1,

证明：

对任意实数,使得

（2）直接用拉格朗日或柯西中值定理

例18、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例19、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例20、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例21、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

题型五、含有（或更高阶导数）的介值问题

例22、设f（x）在[0,1]上二阶可导，且f（0）=f

（1）=0,试证至少存在一个,使

例23、（012，8分）设在上具有二阶连续导数，f（0）=0

（1）写出f（x）的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。

（2）证明在上至少存在一个使得

例24、设f（x）在[－1,1]上具有三阶连续导数，且f（-1）=0,f

（1）=1,f（0）=0,证明:

在（-1,1）内存在一点，使得

例25、设f（x）在[－a,a]上具有三阶连续导数，且满足，

f（0）=0,证明:

在[-a,a]内存在一点，使得

[证]由

=，

知，

根据泰勒公式，有

其中介于0与x之间，.

于是

其中M、m为（由题设可推知在[-a,a]上连续）在[-a,a]上的最大值、最小值.进一步有

故存在，使得，即

题型六、双介值问题

例26、设在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，，求证存在使得

例27、（051，12分）已知函数在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且

（1）存在，使得

（2）存在两个不同的点使得

题型七、综合题

例28、（011，7分）

设函数在（-1,1）内具有二阶连续导数，且，试证

（1）对于（-1,1）内的任意,存在唯一的使得

成立

（2）

例29、试证明若在[a,b]上存在二阶导数，且，则存在使得

例30、设e<

a<

b,求证：

在（a,b）内存在唯一的点ξ，使得

[证]

为证唯一性，再证

令

唯一性.

题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题

1）反证法

例30、设f（x）在[-2,2]上连续，在（-2,2）内二阶连续可导,且.求证存在,使

[证]反证若对不变号

1）,f

（2）=f（0）+

与左端小于等于1矛盾.

2）f（-2）=f（0）-

同理矛盾

变号，从而结论成立.

2）隐含问题

例31、（2000年）设f（x）在[0,1]上连续，,g（x）在[0,1]上有连续的导数且在（0,1）内，并且证明：

至少存在两个不同的点,使.

又

=

结论.

（注：

可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!

）