多元微分学的基本概念计算与应用Word下载.docx
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,y)在y=y°
处连续,对fy(x,y°
)在x=xo处连续类似;
y—0'
limfx(x,y)=fx(x,y°
):
=fx(x,y)在y=y)处连续,对fy(x,y)在x=x处连续类似;
—yo
呵、fx(y)(x,y)=fx(y)(Xo,y°
)=fx(y)(x,y)在(xo,yo)处连续.
(x,y)「(xo,yo)
3、记忆多元复合函数的求导法:
dzczduczdv亠”、”、,”、,
z=f[u(x),v(x)],则全导数,或z(x)=u(x)fuv(x)fv.
dxcudxcvdx
z=f[u(x),v(x,y)],则Zx=u'
(x)fu+vxfv,zy=vyfv.
z=f[u(x,y),v(x,y)],则z^=uxf^vxfv,Zyf.+v『
Zxx=5(fu)xVx(Qxuxxfuvxxfv二5(匕仁Vxh)VxWxfvuVxfJuxxfuVxxfv
fuv寸vu
uyfuu2uyvyfuvYyfvv7yyfuYyyfv
22
=uxfuu2uxVxfuvVxfvvuxxfuVxxfv;
Zyy=
Zxy=匕比fuu(uxVyVxuy)VyUy^yVyyf
4、隐函数的求导法(两端求导法与公式法):
公式法1:
F(x,y),0,右Fy^O,则存在y=y(x),且y'
(x)=-Fx;
:
Fy.
公式法2:
F(x,y,z)=0,若Fz-0,则存在z=z(x,y),且Fx.Fz,zy二-FyFz
若F(x,y,z)=0确定x二x(y,z),y二y(x,z),z二z(x,y),则xy*yz*Zx--1.
5、记忆多元函数高阶混合偏导数的求导法:
若多元函数高阶混合偏导数连续,则其结果与求导次序无关
6、记忆多元函数的求微法:
Az—(zxAx+zyAy)小A
z=z(x,y)满足lim—=0,贝Vdzu/dx+Zydy,且有也z出dz.
此応)2十(与)2
u=u(x,y,z)可微,贝Udu=uxdxuydyuZdz.
z=f[u(x,y),v(x,y)]可微,贝Udz二Zuduz^dv二ZxdxZydy.
F(x,y,z)=0y-y(x)FxdxFydyFZdz=0
可微,且确定,则由x“计算y'
(x),z'
(x).
G(x,y,z)=0z=z(x)GxdxGydyGzdz=0
(二)多元函数的极值与最值问题
1极值的必要条件和极值的充分条件
必要条件1设函数Z=f(x,y)在点(Xo,yo)具有偏导数,且在点(Xo,y。
)处有极值,则有充分条件1设函数z二f(x,y)在点(Xo,y。
)的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导
数,又fX(X0,yo)=0,fy(X0,yo)=0,令fxx(Xo,yo)=A,fxy(X。
yo)=B,fyy(X°
y°
)=C则z=f(x,y)在点(Xo,yo)处是否取得极值的条件如下:
2
(1)AC-B■0时具有极值,且当A:
.0时有极大值,当A■0时有极小值;
)AC-B2:
:
0时没有极值;
(3)AC-B2=0时可能有极值也可能没有极值,还需另外讨论
2、多元函数的极大值、极小值.
求z=f(x,y)的极值的一般步骤为:
第一步解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,求出f(x,y)的所有驻点;
第二步求出函数f(x,y)的二阶偏导数,依次确定各驻点处A、B、C的值,并根据
AC-B2的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值.
3、条件极值
解条件极值途径是将条件极值问题转化为无条件极值问题
一般有三个方法:
一是降元法;
二是升元法--拉格朗日乘数法;
三是几何法•
降元法是解决条件极值问题最彻底的方法,它可使得原目标函数降元,变成一
(二)元
函数,得到驻点后,利用极值的充分条件进行判定,但有时降元无法实现,也会出现降元
后的目标函数变得非常繁琐•
对升元法--拉格朗日乘数法,一般有以下两种情况:
(1)在条件v(x,y)0(冲(x,y,z)0)下,求目标函数u=f(x,y)(u=f(x,y,z))的极值•弓I进拉格朗日函数
L(x,y,■)f(x,y)v(x,y)(L(x,y,乙・)=f(x,y,z)■-:
'
>
(x,y,z))
它将有约束条件的极值问题化为无条件的极值问题•求解时,一般先利用Lx=Ly=Lz=0消去
「得到x,y,(z)的关系,在与"
(x,y,(z))=0联立求解•若得到唯一驻点,则根据实际情况判断其极值性;
若得到几个驻点,则根据其相应的函数值大小判断其极值性
(2)在条件:
•:
」(x,y,z)0和Tf(x,y,z)0下,求目标函数u=f(x,y,z)的极值,则引
进拉格朗日函数L(x,y,z,,)=f(x,y,z)亠;
①(x,y,z)■丄学(x,y,z)0.
用几何法时需记忆一些平面(空间(数一))解析几何的公式,如:
(1)
上|AXo+By0+Cz0+D|
点M°
(X0,y0,z0)到平面AxByCz^0距离公式d,—000.
(A2+B2+C2
注:
在证明不等式A),f(x,y)d;
「乞B的问题时,需将f(x,y)在D上的最值问题与积分
D
估值定理联合考虑•
(3)特殊曲面(数一)
1平面的方程为Ax冋8D"
,抛物面方程为肃冷—(pq.o).
222
2、球面方程为(X_X0)2.(y_yo)2■(Z_Zo)2二R2,椭球面方程为X2■打■Z2二1•
abc
3、锥面方程为a2z2=(x2•y2),其中锥面的半顶角为arctana.
4、对F(y,z)=°
,绕z轴旋转生成的旋转曲面方程为F(_、x2y2,z)=0.
x=0y
5、空间曲线:
F(x,y,z)=0关于xoy面的投影柱面方程为H(x,y)=0(消z).
G(x,y,z)=0
(4)空间切向量与法向量(数一)
x=x(t)彳
1、空间曲线「:
*y=y(t)过相应于t=t0点处的切向量为S=(x'
(t0),y'
(t0),z'
(t0)),
5=z(t)
切线方程为X-X®
=y-y(t0)/-玳)y'
(t。
)z'
)’
有向曲线元ds=(dx,dy,dz)二eds,^^(cos,cos:
cos)是与丨同向的单位向量,
ds「x'
2(t)—y'
2(t)—z'
2(t)为弧长元素.(数二需掌握平面弧长元素)
「F(x,y,z)=0t-T
2、过其上点M(X0,y°
Z0)处的切向量为s=(Fx,Fy,Fj0(Gx,Gy,Gz)°
.
G(x,y,z)=0詁
3、曲面F(x,y,z)=0过其上点M(X0,y°
z0)处的法向量为n=(Fx,Fy,Fz)。
,
切平面方程为Fx%,y°
z0)(x-X0)Fy(X0,y°
z0)(y-y。
)下乙化学^血-石)=0.注:
数二需掌握平面曲线F(x,y)=0上点M(X0,y°
)处的法向量为n=(Fx,Fy)°
4、曲面3:
z=f(x,y)过相应于化必)点处的法向量为n=(fx(x°
y°
),fy(X0,y°
),-1),T—*一
n・k
向量,曲面面积兀素dS=
有向曲面元dS=(dyd乙dzdxdxdy)=endS,en二(cos,cos:
cos)是与匕同侧的单位
cos:
(5)方向导数与梯度(数一)
1、记忆方向导数与梯度的计算公式:
丄-
z=f(x,y)在P点处的梯度为gradf=fxffyj(fx,fy),
z二f(x,y)在P点处沿方向I的方向导数为f
ei二(cos,cos])=(cos「,sin),:
f「l是gradf在I上的投影,在P处沿梯度方向的mi达到最大值注:
z
曰=gradfel,片
])=(cos,sin),-■,:
为I的方向角,,为x轴到i的转角,gradf|.
f(x,y)在P(x,y)处的全微分dz=(fx,fy)(dx,dy)二gradfds
u=f(x,y,z)在P(x,y,z)处沿方向I的方向导数为=gradf(x,y,z)%
=(fx,fy,fz)(cosa,cosP,cos?
),其沿梯度方向的fa达到最大值gradf(x,y,z).
、典型例题(公共)
=2fx(0,0)+3fy(0,0)=8.
例1、设fx(0,0)=1,fy(0,0)=2,则limf(2x,0)f(0,—3x)
J2222、122
“(x+y)sin(x+y)—,x+y式0、「亠_
例2、设f(x,y)=<
,冋f(x,y)在点(0,0)处:
[0,x2+y2=0
(1)偏导数是否存在?
(2)偏导数是否连续?
(3)是否可微?
f(x,0)—f(0,0)=|计xsin—=0,同理fy(0,0)=0;
x『X
2\d22\」z22\/22
y)-2x(xy)cos(x-y),xy屮0
xy0
111、
解:
⑴fx(O,O)=1[叫
■■2
I2xsin(x+
⑵fx(x,y)二
0,
因lim
x「0,y=x
由x,y对称性,同理证
fx(x,y)=li叫2xsincos討,可知该极限不存在
x<
2xx2x
limfy(x,y)不存在.故fx(x,y)及fy(x,y)在(0,0)处不连续;
xj,y空
z-[fx(0,0)x•fy(0,0)y]
⑶limlim
^-S0/x2+y»
”
y)0\xy—0
常用夹逼求二重极限,lim[x32y/J2x2+y2]=0(
(x,y)—0,0)L八
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