东北师大附中吉林一中学长春11高和松原实验中学等届高三第一次五校联考数学理试题 Word版含答案Word格式文档下载.docx
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A.B.C.D.
7.过点可作圆的两条切线,则实数的取值范围为()
A.或B.
C.或 D.或
8.在△ABC中,若2=·
+·
,则△ABC是( )
A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形
9.已知函数是定义在上的奇函数,且满足,当时,,
则函数的零点是()
A.B.
C.D.
10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
11.已知双曲线与函数的图象交于点.若函数在点处的切线过双曲线左焦点,则双曲线的离心率是()
A.B.C.D.
12.若存在实常数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足:
和恒成立,则称此直线为和的“隔离直线”,已知函数,有下列命题:
①在内单调递增;
②和之间存在“隔离直线”,且的最小值为;
③和之间存在“隔离直线”,且的取值范围是;
④和之间存在唯一的“隔离直线”.
其中真命题的个数有()
A.个B.个C.个D.个
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填写在横线上)
13.执行如图所示的程序框图,输出的T=.
14.若loga(a2+1)<
loga2a<
0,则实数a的取值范围是.
15.已知函数,若数列满足
(),且是递增数列,则实数的取
值范围是___________.
16.同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的
底面边长为a,球的半径为R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、,则的值是.
三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知的三个角的对边分别为,且成等差数列,且.数列是等比数列,且首项,公比为.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和.
18.(本小题满分12分)2015年7月9日21时15分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,造成165.17万人受灾,5.6万人紧急转移安置,288间房屋倒塌,46.5千公顷农田受灾,直接经济损失12.99亿元。
距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假,小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成,
,,,五组,并作出如下频率分布直方图(图1):
(Ⅰ)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款。
现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助,设抽出损失超过8000元的居民为户,求的分布列和数学期望;
()台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如下表,在图2表格空白处填写正确数字,并说明是否有95℅以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
经济损失不超过
4000元
经济损失超过
合计
捐款超过
500元
30
捐款不超
过500元
6
(图2)
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
附:
临界值表参考公式:
,.
19.(本小题满分12分)如图所示,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2.
(Ⅰ)求证:
AB∥平面MCD;
(Ⅱ)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.
20.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为,过点F作直线l交抛物线C于A,B两点.椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,点F是它的一个顶点,且其离心率.
(Ⅰ)分别求抛物线C和椭圆E的方程;
(Ⅱ)经过A,B两点分别作抛物线C的切线,切线与相交于点M.证明
21.(本小题满分12分)已知函数..
(Ⅰ)若,求函数的最大值;
(Ⅱ)令,讨论函数的单调区间;
(Ⅲ)若,正实数满足,证明.
请考生在第22、23、24题中任选一道作答,多答、不答按本选考题的首题进行评分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图所示,AC为⊙O的直径,D为的中点,E为BC的中点.
DE∥AB;
(Ⅱ)求证:
AC·
BC=2AD·
CD.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在极坐标系Ox中,直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP|·
|OM|=4,记点P的轨迹为C2.
(Ⅰ)求曲线C2的极坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C2上的点到直线ρcos(θ+)=的距离的最大值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数f(x)=|x-1|.
(Ⅰ)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;
(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:
f(ab)>|a|f().
李大博、王玉梅、李明月
2015-2016学年第一次联合命题数学(理科)答案
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
C
二.填空题
13.2914.<
a<
1
15.16.
三.解答题
17.解:
(Ⅰ)成等差数列,………………6分
(Ⅱ)………………8分
;
2
………………12分
18.解:
(Ⅰ)记每户居民的平均损失为元,则:
………………………2分
(Ⅱ)由频率分布直方图可得,损失超过4000元的居民共有(0.00009+0.00003+0.00003)×
2000×
50=15户,损失超过8000元的居民共有0.00003×
50=3户,因此,
的可能取值为0,1,2
,
的分布列为
………………………7分
39
35
15
50
(Ⅲ)如图:
,
所以有95℅以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元
有关.………………………12分
19.解:
(Ⅰ)证明:
取CD中点O,因为△MCD为正三角形,所以MO⊥CD.
由于平面MCD⊥平面BCD,所以MO⊥平面BCD.又因为AB⊥平面BCD,
所以AB∥MO.又AB⊄平面MCD,MO⊂平面MCD,所以AB∥平面MCD.………………6分
(Ⅱ)连接OB,则OB⊥CD,又MO⊥平面BCD.
取O为原点,直线OC,BO,OM为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系如图所示.
OB=OM=,则各点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2).
=(-1,0,),=(-1,-,2).
设平面ACM的法向量为n1=(x,y,z),
由得
解得x=z,y=z,取z=1,得n1=(,1,1).又平面BCD的法向量为n2=(0,0,1),
所以cos〈n1,n2〉==.设所求二面角为θ,则sinθ=.………………12分
20.解:
(Ⅰ)由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为.
设椭圆的方程为,半焦距为.由已知可得:
解得.所以椭圆的方程为:
.………………4分
(Ⅱ)显然直线的斜率存在,否则直线与抛物线只有一个交点,不合题意,………………6分
故可设直线的方程为,
由,消去并整理得∴.
∵抛物线的方程为,求导得,
∴过抛物线上两点的切线方程分别是,,
即,,
解得两条切线的交点的坐标为,即,
∴.………………………………12分
21.解:
(Ⅰ)因为,所以,此时,
由,得,所以在上单调递增,在上单调递减,
故当时函数有极大值,也是最大值,所以的最大值为.………………4分
(Ⅱ),
所以.
当时,因为,所以.
所以在上是递增函数,
当时,,
令,得.所以当时,;
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