人教a版高中数学第三章章末评估验收三.docx
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人教a版高中数学第三章章末评估验收三
章末评估验收(三)
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)可导,则等于( )
A.f′
(1) B.不存在
C.f′
(1)D.以上都不对
解析:
==f′
(1).
答案:
A
2.曲线y=f(x)=x3-3x2+1在点(2,-3)处的切线方程为( )
A.y=-3x+3B.y=-3x+1
C.y=-3D.x=2
解析:
因为y′=f′(x)=3x2-6x,则曲线y=x3-3x2+1在点(2,-3)处的切线的斜率k=f′
(2)=3×22-6×2=0,所以切线方程为y-(-3)=0×(x-2),即y=-3.
答案:
C
3.函数f(x)=x3-3x+1的单调递减区间是( )
A.(1,2)B.(-1,1)
C.(-∞,-1)D.(-∞,-1),(1,+∞)
解析:
f′(x)=3x2-3,由f′(x)<0,可得-1<x<1.
答案:
B
4.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,在x=-3时取得极值,则a等于( )
A.2B.3C.4D.5
解析:
f′(x)=3x2+2ax+3.由f(x)在x=-3时取得极值,即f′(-3)=0,即27-6a+3=0,所以a=5.
答案:
D
5.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,归纳可得:
若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( )
A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)
解析:
观察可知,偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x).
答案:
D
6.若函数f(x)=x3-f′
(1)·x2-x,则f′
(1)的值为( )
A.0B.2C.1D.-1
解析:
f′(x)=x2-2f′
(1)·x-1,
则f′
(1)=12-2f′
(1)·1-1,解得f′
(1)=0.
答案:
A
7.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.设该商品零售价定为P元,销售量为Q件,且Q与P有如下关系:
Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.30元B.60元
C.28000元D.23000元
解析:
设毛利润为L(P)元,由题意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)=(8300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11700P-166000,所以L′(P)=-3P2-300P+11700.令L′(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).当20≤P<30时,L′(P)>0,L(P)为增函数;当P>30时,L′(P)>0,L(P)为减函数,故P=30为L(P)的极大值点,也是最大值点,此时L(30)=23000,即最大毛利润为23000元.
答案:
D
8.设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x)( )
A.在区间(1,e)内均有零点
B.在区间(1,e)内均无零点
C.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
解析:
由题意得f′(x)=,令f′(x)>0得x>3;令f′(x)<0得0<x<3;f′(x)=0得x=3,故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+∞)为增函数,在点x=3处有极小值1-ln3<0;又f
(1)=>0,f(e)=-1<0,f=+1>0.
答案:
C
9.设f(x),g(x)是R上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为f(x),g(x)的导函数,且f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当a A.f(x)g(b)>f(b)g(x)B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b)D.f(x)g(x)>f(a)g(a) 解析: 因为[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+g′(x)·f(x)<0,所以函数y=f(x)g(x)是减函数.所以当a f(a)g(a)>f(x)g(x)>f(b)g(b).故选C. 答案: C 10.函数y=-2sinx的图象大致是( ) A B C D 解析: y′=-2cosx,令y′=0,解得cosx=,根据三角函数的知识可知此方程有无穷多个解,即函数y=-2sinx有无穷多个极值点,又函数y=-2sinx是奇函数,所以图象关于坐标原点对称,故选C. 答案: C 11.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是( ) A.0≤a≤21B.a=0或a=7 C.a<0或a>21D.a=0或a=21 解析: f′(x)=3x2+2ax+7a,令f′(x)=0,即3x2+2ax+7a=0,对于此方程,Δ=4a2-84a,当Δ≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数不存在极值点. 答案: A 12.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( ) A.2B.3C.6D.9 解析: 函数的导数为f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数f(x)在x=1处有极值,可知函数f′(x)在x=1处的导数值为0,即12-2a-2b=0,所以a+b=6,由题意知a,b都是正实数,所以ab≤= =9,当且仅当a=b=3时取到等号. 答案: D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.若曲线y=xa+1(a∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则a=________. 解析: 由题意,知y′=axa-1,故在点(1,2)处的切线的斜率a,又因为切线过坐标原点,所以a==2. 答案: 2 14.函数f(x)=(x≥2)的最大值为________. 解析: 先利用导数判断函数的单调性,再进一步求解函数的最大值. f′(x)==-, 当x≥2时,f′(x)<0,所以f(x)在[2,+∞)上是减函数, 故f(x)max=f (2)==2. 答案: 2 15.当x∈[-1,2]时,x3-x2-x<m恒成立,则实数m的取值范围是________. 解析: 记f(x)=x3-x2-x, 所以f′(x)=3x2-2x-1. 令f′(x)=0,得x=-或x=1. 又因为f=,f (2)=2,f(-1)=-1,f (1)=-1, 所以当x∈[-1,2]时,(f(x))max=2,所以m>2. 答案: (2,+∞) 16.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是________. 解析: 设x>0,则-x<0,f(-x)=ex-1+x. 因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x), 所以f(x)=ex-1+x. 因为当x>0时,f′(x)=ex-1+1, 所以f′ (1)=e1-1+1=1+1=2. 所以曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1), 即2x-y=0. 答案: 2x-y=0 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程. 解: (1)因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, 所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′ (2)=13. 所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6), 即y=13x-32. (2)因为切线与直线y=-+3垂直, 所以切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(x0,y0), 则f′(x0)=3x+1=4, 所以x0=±1, 所以或 即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18). 切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14. 18.(本小题满分12分)设函数y=f(x)=4x3+ax2+bx+5在x=与x=-1处有极值. (1)写出函数的解析式; (2)指出函数的单调区间; (3)求f(x)在[-1,2]上的最值. 解: (1)y′=12x2+2ax+b,由题设知当x=与x=-1时函数有极值,则x=与x=-1满足y′=0, 即解得 所以y=4x3-3x2-18x+5. (2)y′=12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3),列表如下: x (-∞, -1) -1 y′ + 0 - 0 + y ↗ y极大值 =16 ↘ y极小 值=- ↗ 由上表可知(-∞,-1)和(,+∞)为函数的单调递增区间,为函数的单调递减区间. (3)因为f(-1)=16,f=-,f (2)=-11, 所以f(x)在[-1,2]上最小值是-,最大值为16. 19.(本小题满分12分)有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P万元和Q万元,它们与投入资金x万元的关系有经验公式: P=,Q=.现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少? 能获得的最大利润是多少? 解: 设对乙种商品投资x万元,则甲种商品投资为(3-x)万元,总利润为y万元. 根据题意,得y=+(0≤x≤3), y′=-+·.令y′=0,解得x=. 由实际意义知x=即为函数的极大值点,也是最大值点,此时3-x=. 因此为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元,获得的最大利润为1.05万元. 20.(本小题满分12分)若函数f(x)=4x3-ax+3在[-,]上是单调函数,则实数a的取值范围为多少? 解: f′(x)=12x2-a,若f(x)在上为单调增函数, 则f′(x)≥0在上恒成立, 即12x2-a≥0在上恒成立. 所以a≤12x2在[-,]上恒成立, 所以a≤(12x2)min=0. 当a=0时,f′(x)=12x2≥0恒成立[只有x=0时f′(x)=0]. 所以a=0符合题意. 若f(x)在上为单调减函数, 则f′(x)≤0,在上恒成立, 即12x2-a≤0在上恒成立, 所以a≥12x2在上恒成立, 所以a≥(12x2)max=3. 当a=3时,f′(x)=12x2-3=3(4x2-1)≤0恒成立(且只有x=±时f′(x)=0. 因此,a的取值范围为a≤0或a≥3. 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+lnx. (1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值; (2)求证: 在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方. (1)解: 由f(x)=x2+lnx得f′(x)=x+, 因为当x∈[1,e]时,f′(x)>0, 所以函数f(x)在[1,e]上是增函数. f(x)max=f(e)=e2+1, f(x)min=f (1)=. (2)证明: 设F(x)=f(x)-g(x)=x2+lnx-x3,则F′(x)=x+-2x2=. 因为x>1,所以F′(x)<0, 所以函数F(x)在(1,+∞)上是减函数,又因为F (1)=-,故在[1,+∞)上有F(x)<0,即f(x) 22.(本小
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