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由第二定律可以知道,从近日点向远日点运动时,速率变小,从远日点向近日点运动时速率变大。
由第三定律知道
,而k值只与太阳有关,与行星无关。
2.开普勒定律的应用
(1)行星的轨道都近似为圆,计算时可认为行星做匀速圆周运动,这时太阳在圆心上,第三定律为
(2)开普勒定律不仅适用于行星,也适用于卫星,若把卫星轨道近似看作圆,第三定律公式为
,这时
由行星决定,与卫星无关。
当天体绕不同的中心星球运行时,
中的
值是不同的。
(3)对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。
卫星变轨问题,可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。
二、万有引力定律:
(1687年)
适用于两个质点或均匀球体;
r为两质点或球心间的距离;
G为万有引力恒量(1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出)
重力和万有引力
重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的;
万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。
如图所示,
产生两个效果:
一是提供物体随地球自转所需的向心力;
二是产生物体的重力。
由于
,随纬度的增大而减小,所以物体的重力随纬度的增大而增大,即重力加速度从赤道到两极逐渐增大;
但
一般很小,在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等,即
常用来计算星球表面的重力加速度。
在地球同一纬度处,g随物体离地面高度的增加而减小,因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小,即
。
说明:
和
不仅适用于地球也适用于其他星球。
在赤道处,物体的
分解的两个分力
和mg刚好在一条直线上,则有
三、万有引力定律的应用
1.解题的相关知识:
(1)在高考试题中,应用万有引力定律解题的知识常集中于两点:
一、天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力,即
=
;
二、地球对物体的万有引力近似等于物体的重力,即G
=mg从而得出GM=R
g(黄金变换)
(2)圆周运动的有关公式:
,v=
r。
讨论:
由
可得:
r越大,v越小。
r越大,ω越小。
r越大,T越大。
r越大,a向越小。
点评:
需要说明的是,万有引力定律中两个物体的距离,对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离;
对于未特别说明的天体,都可认为是均匀球体,则指的是两个球心的距离。
人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。
2.常见题型
万有引力定律的应用主要涉及几个方面:
(1)测天体的质量及密度:
(万有引力全部提供向心力)
得
又
(2)行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题:
(重力近似等于万有引力)
表面重力加速度:
轨道重力加速度:
(gh应理解成向心加速度)
(3)人造卫星、宇宙速度:
人造卫星分类(略):
其中重点了解同步卫星
宇宙速度:
(弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别)
(4)双星问题:
(5)有关航天问题的分析:
(6)天体问题为背景的信息给予题
开普勒定律
例1.关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是:
()
A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B.行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
C.离太阳越近的行星的运动周期越长
D.所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
1.海王星与太阳的平均距离约为地球与太阳平均距离的30倍,地球公转周期是3.16×
107s,那么海王星绕太阳运行的周期约为s.
2.宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动,如果轨道半径是地球轨道半径的9倍,那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是()
A.3年B.9年C.27年D.81年
万有引力定律
例1.对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力表达式为F=G
,下列说法正确的是()
A.公式中的G是引力常量,它是由实验得出的而不是人为规定的
B.当两物体的距离r趋于零时,万有引力趋于无穷大
C.相互作用的两个物体,质量大的物体受到的引力较大,质量小的物体受到的引力较小
D.两个物体间的引力总是大小相等、方向相反,是一对平衡力
1.地球质量大约是月球质量的81倍,一个飞行器在地球与月球之间,当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时,这飞行器距离地心的距离与距离月心的距离之比为().
A.1∶9B.9∶1C.1∶27D.27∶1
2.下列说法中正确的是()(双选)
A.质量为m的物体在地球上任何地方其重力均相等
B.把质量为m的物体从地面移到高空上,其重力变小了
C.同一物体在赤道处的重力比在两极处的重力大
D.同一物体在任何地方其质量都是相同的
3.下列说法符合事实的是()
A.牛顿发现了行星的运动规律
B.开普勒发现了万有引力定律
C.卡文迪许第一次在实验室测出了万有引力常量
D.人造地球同步卫星的周期与地球自转周期
4.在轨道上运行的人造卫星,如天线突然脱落,则天线将()
A.做自由落体运动 B.做平抛运动
C.和卫星一起在同一轨道上绕地球运动D.由于惯性沿轨道切线方向做直线运动
5.根据观测,某行星外围有一个模糊不清的环,为了判断该环是连续物还是卫星群,又测出了环中各层的线速度V的大小与该层至行星中心的距离R,以下判断中正确的是()(双选)
A.若V与R成正比,则环是连续物
B.若V与R成反比,则环是连续物
C.若V2与R成正比,则环是卫星群
D.若V2与R成反比,则环是卫星群
万有引力定律应用
例1.把太阳系各行星运动近似看作匀速圆周运动,则离太阳越近的行星().
A.周期越小B.线速度越小C.角速度越小D.加速度越小
1.设人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,卫星离地面越高,则卫星的().
A.线速度越大B.角速度越大C.向心加速度越大D.周期越长
2.两颗小行星都绕太阳做圆周运动,它们的周期分别是T和3T,则:
A.它们绕太阳运动的轨道半径之比为1∶3
B.它们绕太阳运动的轨道半径之比为1∶
C.它们绕太阳运动的速度之比为
∶1
D.它们受太阳的引力之比为9∶
3.下列说法正确的是:
A.因F=mω2r,人造卫星的轨道半径增大到2倍,向心力增大到2倍
B.因F=mv2/r,人造卫星的轨道半径增大到2倍,向心力减小为原来的1/2
C.因F=GMm/r2,人造卫星的轨道半径增大到2倍,向心力减小为原来的1/4
D.仅知道卫星的轨道半径的变化,无法确定向心力的变化
4.根据观测,某行星外围有一个模糊不清的环,为了判断该环是连续物还是卫星群,又测出了环中各层的线速度V的大小与该层至行星中心的距离R,以下判断中正确的是()(双选)
A.若V与R成正比,则环是连续物B.若V与R成反比,则环是连续物
C.若V2与R成正比,则环是卫星群D.若V2与R成反比,则环是卫星群
5.我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。
“一号”是极地圆形轨道卫星。
其轨道平面与赤道平面垂直,周期是12h;
“二号”是地球同步卫星。
两颗卫星相比号离地面较高;
号观察范围较大;
号运行速度较大。
若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空,那么下一次它通过该城市上空的时刻将是。
例2.若已知行星绕太阳公转的半径为r,公转的周期为T,万有引力恒量为G,则由此可求出().
A.某行星的质量B.太阳的质量 C.某行星的密度 D.太阳的密度
1.已知月球的半径为r,月球表面的重力加速度为g月,万有引力恒量为G,若忽略月球的自转,试求出月球的平均密度表达式.
2.已知某行星的半径和绕该行星表面运行的卫星的周期,可以求得下面哪些是()
A.该行星的质量B.该行星的表面的重力加速度
C.该行星同步卫星高其表面的高度D.该行星的第一宇宙速度
例3.设地球表面重力加速度为go,物体距离地心4R(R是地球半径)处,由于地球的作用而产生的加速度为g,则g/go为:
A.1B.1/9C.1/4D.1/16
1.绕地球作圆周运动的某人造地球卫星,距地球表面的高度恰好等于地球半径R,线速度为V,地球表面附近的重力加速度为g,则以上各量的关系是:
A.V=
B.V=
C.V=
D.V=2
1.一宇宙飞船在离地为h高的圆轨道上作匀速圆周运动,质量为m的物块用弹簧称挂起相对于飞船静止,则此物块所受的合外力的大小为__________(已知地球半径为R,地球表面处的重力加速度为g)
例4.目前地球上空的同步卫星有很多种类,用于科学实验、资源勘测、通讯、气象等.它们虽然质量、功能各不相同,但一定具有相同的()(双选)
A.线速度B.角速度C.向心加速度D.距地球表面的高度
1.某一颗人造地球同步卫星距地面的高度为h,设地球半径为R,自转周期为T,地面处的重力加速度为g,则该同步卫星的线速度的大小应为()(双选)
A.
B.
C.
D.
2.用m表示地球同步通信卫星的质量,h表示卫星离地面的高度,M表示地球的质量,R0表示地球的半径,g0表示地球表面处的重力加速度,T0表示地球自转的周期,w0表示地球自转的角速度,地球同步通信卫星的环绕速度大小v为()(双选)
A.ω0(R0+h)B.
C.
D.
3.亚洲一号是我国发射的通讯卫星,设地球自转角速度一定,则亚洲一号()(双选)
A.绕地球运转的角速度等于地球自转的角速度B.沿着与赤道成一定角度的轨道运动
C.运行的轨道半径为一确定值D.如果需要可以固定在北京上空
4.同步卫星离地球球心的距离为r,运行速率为v1,加速度大小为a1,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R。
则()
A.a1:
a2=r:
RB.a1:
a2=R2:
r2C.v1:
v2=R2:
r2D.
5.在地球(看作质量均匀分布的球体)上空有许多同步卫星,下面说法中正确的是()
A.它们的质量可能不同B.它们的速度可能不同
C.它们的向心加速度可能不同D.它们离地心的距离可能不同
6.地球同步卫星到地心的距离r可由
求出,已知式中a的单位是m,b的单位是s,c的单位是m/s2,则( )(双选)
A.a是地球半径,b是地球自转的周期,C是地球表面处的重力加速度;
B.a是地球半径。
b是同步卫星绕地心运动的周期,C是同步卫星的加速度;
C.a是赤道周长,b是地球自转周期,C是同步卫星的加速度
D.a是地球半径,b是同步卫星绕地心运动的周期,C是地球表面处的重力加速度。
例5.发
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