步步高高中数学 步步高选修22第一章15Word文档下载推荐.docx
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f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
f(x)dx,即
f(x)dx=
f(ξi).其中a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式.
思考
(1)如何理解定积分?
(2)用定义求定积分
f(x)dx的一般步骤是什么?
答案
(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即
f(u)du=
f(t)dt=…(称为积分形式的不变性),另外,定积分
f(x)dx的值与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分区间,定积分的积分限不同,所得的值也不同,例如
(x2+1)dx与
(x2+1)dx的值就不同.
(2)①分割:
将区间[a,b]n等分,记第i个小区间为[xi-1,xi],区间长度Δx=xi-xi-1;
②近似代替、求和:
取点ξi∈[xi-1,xi],
f(x)dx≈
(ξi)Δx;
③取极限:
(ξi)Δx.
知识点三 定积分的几何意义与性质
1.定积分的几何意义
由直线x=a,x=b(a<
b),x轴及一条曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积设为S,则有:
(1)在区间[a,b]上,若f(x)≥0,则S=
f(x)dx,如图
(1)所示,即
f(x)dx=S.
(2)在区间[a,b]上,若f(x)≤0,则S=-
f(x)dx,如图
(2)所示,即
f(x)dx=-S.
(3)若在区间[a,c]上,f(x)≥0,在区间[c,b]上,f(x)≤0,则S=
f(x)dx-
f(x)dx,如图(3)所示,
即
f(x)dx=SA-SB(SA,SB表示所在区域的面积).
2.定积分的性质
(1)
kf(x)dx=k
f(x)dx(k为常数);
(2)
[f1(x)±
f2(x)]dx=
f1(x)dx±
f2(x)dx;
(3)
f(x)dx+
f(x)dx(其中a<
c<
b).
思考 设v=v(t)在时间区间[t1,t2]上连续且恒有v(t)≥0,定积分
v(t)dt的意义是什么?
答案 定积分
v(t)dt表示做变速直线运动的物体在时间区间[t1,t2]内经过的路程,这就是定积分
v(t)dt的物理意义.
题型一 求图形的面积问题
例1 用定积分的定义求曲线y=x3+1与x=0,x=1及y=0所围成的曲边梯形的面积.
解 ①分割:
将区间[0,1]等分成n个小区间
,
,…,
,每个小区间的长度为Δx=
-
=
,过各区间端点作x轴的垂线,从而得到n个小曲边梯形,它们的面积分别记为ΔS1,ΔS2,…,ΔSi,…,ΔSn.
②近似代替:
对区间
上的小曲边梯形,以区间左端点
对应的函数值f
3+1为一边的长,以Δx=
为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积,即ΔSi≈f
Δx=
.
③求和:
Sn=ΔS1+ΔS2+…+ΔSn=
Si≈
[03+13+23+…+(n-1)3]+1
·
+1=
+1.
④取极限:
当n→∞时,Sn趋近于
即S=
Sn=
所以曲边梯形的面积是
反思与感悟 对图形进行分割实现了把求不规则的图形面积化归为矩形面积,但这仅是近似值,分割得越细,近似程度就会越高,这就是“以直代曲”方法的应用.
跟踪训练1 求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成的图形的面积.
解
(1)分割:
将曲边梯形分成n个小曲边梯形,用分点
把区间[0,1]等分成n个小区间
简写作
(i=1,2,…,n),每个区间的长度为Δx=
过各分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别记作:
ΔS1,ΔS2,…,ΔSi,…,ΔSn.
(2)近似代替:
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积.
在小区间
上任取一点xi(i=1,2,…,n),为了计算方便取xi为小区间的左端点,以点xi的函数值f(xi)=
为一边,以小区间长度Δx=
为邻边的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积,可以近似地表示为ΔSi≈f(xi)·
(i=1,2,…,n).
(3)求和:
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值,所以n个小矩形面积的和,就是曲边梯形面积S的近似值.即
S=
(xi)Δx=
(i-1)2-
(i-1)
=-
+
.①
(4)取极限:
当分点数目愈多,即Δx愈小时,和式①的值就愈接近曲边梯形的面积S,因此,当n→∞,即Δx→0时,和式①的逼近值就是所求曲边梯形的面积.
当Δx→0时,S→-
(负号表示图象在x轴下方).
所以由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x(x-1)围成图形的面积是
题型二 求汽车行驶的路程
例2 汽车以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程为s=vt.如果汽车做变速直线运动,在时刻t的速度为v(t)=t2+2(v的单位:
km/h,t的单位:
h),那么它在1≤t≤2这段时间内行驶的路程s(单位:
km)是多少?
解 将区间[1,2]等分成n个小区间,即第i个小区间为
所以Δs=f
sn=
=3+
s=
sn=
所以这段时间内行驶的路程s是
km.
反思与感悟 利用类比转化的思想,把求汽车行驶的路程转化为求时间—速度坐标系中的曲边梯形的面积,再用求曲边梯形的面积方法来解决此问题.
跟踪训练2 一物体自200m高空自由落下,求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离.(g=9.8m/s2)
解 自由落体的下落速度为v(t)=gt.
将[3,6]等分成n个小区间,每个区间的长度为
在第i个小区间
(i=1,2,…,n)上,以左端点函数值作为该区间的速度.
所以sn=
=9g+
g·
所以s=
g
×
9.8=132.3(m).
故该物体在下落后第3s至第6s之间的距离是132.3m.
题型三 由定积分的几何意义求定积分
例3 利用定积分的几何意义,求:
(1)
dx;
(2x+1)dx.
解
(1)在平面上y=
表示的几何图形为以原点为圆心,以3为半径的上半圆,如图
(1)所示.
其面积为S=
πr2=
π.
由定积分的几何意义知
dx=
(2)在坐标平面上,f(x)=2x+1为一条直线.
(2x+1)dx表示直线f(x)=2x+1,x=0,x=3围成的直角梯形OABC的面积,如图
(2)所示.
(1+7)×
3=12.
根据定积分的几何意义知
(2x+1)dx=12.
反思与感悟 利用定积分的几何意义求定积分,关键是准确确定被积函数的图象,以及积分区间,正确利用相关的几何知识求面积,求不规则图形的面积常用分割法,注意分割点的选取.
跟踪训练3 利用定积分的几何意义计算.
xdx;
(2)
dx.
解
(1)如图①所示,定积分为图中阴影部分面积A减去B.
∵SA=SB=
,∴
xdx=
=0.
(2)如图②所示,定积分为图中阴影部分面积,而阴影部分面积为
R2,
∴
R2.
因对定积分的几何意义理解不准确致误
例4 如图所示,f(x)在区间[a,b]上,则阴影部分的面积S为( )
A.
f
(x)dx
B.
(x)dx-
C.-
D.-
(x)dx+
错解 错选A或B或C.
错因分析 错误的原因在于对定积分的几何意义不理解或理解不够透彻.
正解 若f(x)≥0,则在[a,b]上阴影部分的面积S=
(x)dx;
若f
(x)≤0,则在[a,b]上阴影部分的面积S=-
若在[a,c]上,f
(x)≤0,在[c,b]上,f
(x)≥0,则在[a,b]上阴影部分的面积S=-
(x)dx,故选D.
防范措施 定积分的几何意义是在x轴上半部计算的面积取正值,在x轴下半部计算的面积取负值.
1.把区间[1,3]n等分,所得n个小区间的长度均为( )
B.
C.
D.
答案 B
解析 区间[1,3]的长度为2,故n等分后,每个小区间的长度均为
2.定积分
(x)dx的大小( )
A.与f
(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关
B.与f
(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关
C.与f
(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关
D.与f
(x)、积分区间[a,b]和ξi的取法都有关
答案 A
3.求由曲线y=
x2与直线x=1,x=2,y=0所围成的平面图形面积时,把区间5等分,则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________.
答案 1.02
解析 将区间5等分所得的小区间为
,于是所求平面图形的面积近似等于
=1.02.
4.根据定积分的几何意义,用不等号连接下列式子:
①
xdx________
x2dx;
②
dx________
2dx.
答案 ①>
②<
1.求曲
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