42换元积分法第一类换元法Word文件下载.docx
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难点:
熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.
Ⅳ讲授内容:
一、第一类换元积分法
设具有原函数,.若是中间变量,,可微,则根据复合函数求导法则,有
。
所以根据不定积分的定义可得:
以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍,就有
.
以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出,虽然是一个整体记号,但是被积表达式中的可当作变量x的微分来对待,从而上式中的可以看成是的微分,通过换元,应用到被积表达式中就得到.
定理1设具有原函数,可导,,则
(1)
如何应用公式
(1),在求不定积分积分时,如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式的形式,那么
所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积来.
例1求
解,可设中间变量,
,
所以有.
首先观察被积函数的复合函数是什么样的,然后看是否有它的内函数的导数,若没有就去凑。
例2
解
令,显然,
则.
在比较熟练后,我们可以将设中间变量的过程省略,从而使运算更加简洁。
例3
解如将展开是很费力的,不如把作为中间变量,,
例4
例5
例6求
.
二、掌握几种典型的“凑微分”的方法
;
;
。
三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分
计算有关函数的不定积分时,需要先把被积函数变形转化,再利用第一换元积分法计算.
例7求
.(此题利用三角函数中的降幂扩角公式)
例8求
解.
利用,有如下例题
例9求
例10求
解.
利用,
例11求习题4-2:
2(30)
例12求
例13求
此题利用
下面几个例题利用
例14求
又如习题4-2:
2(16);
例15求
第一次课可以讲到这里.
被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法
(例16~例22六个例题)
例16求分子是常数,分母是二次二项式,没有一次项.
例17被积函数分母是一个完全平方式
解.
被积函数分母是一个完全平方式,被积函数化为
例18分子是常数,分母是二次三项式,不是完全平方式
被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式,不是完全平方式时可以把分母配方化为的形式,然后利用
练习:
求(第一换元积分法分)
解,
例19求分子是常数,分母是二次三项式且可以分解因式
被积函数分母是二次三项式且可以分解因式,被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差.
例20求分子是一次多项式,分母是二次多项式
例21求
解,则
被积函数分子是一次多项式,分母是二次多项式时,首先把分子凑成分母的导数.
下面几个例题利用三角函数的微分公式:
例22求(化切为弦)
例23求
例24求
因为.
所以.
此题用三角万能公式代换也可以
例25求
例26求(利用三角函数积化和差公式)
和差化积公式积化和差
解根据三角函数的积化和差公式:
由以上例题可以看出,第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法,始终贯穿着“凑微分”思想,因此学生应熟悉这些基本例题。
Ⅴ归纳总结
1.第一换元法是把被积函数g(x)凑成的形式然后应用公式
2.要熟练掌握几种典型的“凑微分”的方法。
3.熟练掌握几种典型用第一换元积分法计算的不定积分
Ⅵ课堂练习:
第一次课1,习题4-2:
2
(2)(5)(6)(8)(10)(12)(16)(18)(19);
第二次课2(11)(35)(43)(12)(29).
Ⅶ课外作业:
第一次课习题4-2:
2
(1)
(2)(4)(6)(7)(8)(9)(13)(16)(17)(19)(21)(30)(33).
第二次课2(11)(12)(15)(22)(24)(25)(26)(32)(34)(35)(43).
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- 42 积分 一类 换元法
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