《函数的零点》课堂教学设计Word格式.docx
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4.学习难度
新教材关注学生的学习兴趣和认知特点,一方面注意控制教材内容总量,精选学生终身学习必备的基础知识和基本技能,另一方面也适当降低了某些知识的难度要求,改变了原有教材中原理性知识偏重思辨和过深、过难的现象,本节课就充分体现了这一点。
难度适中,知识要点突出,层次分明,符合学生的认知特点。
三.设计思想
本节课的设计思想是以多媒体网络教学平台为依托,借助《几何画板》的帮助,为学生描绘一个数学图形的世界,营造一个探究学习的环境,让他们通过数学实验,经历回顾旧知、探求新知、发现规律、解决问题、总结规律的全过程。
四.教学目标
知识与技能:
(1)通过对二次函数增图像的描绘,理解函数零点的概念,体会我们在研究和解决问题过程的一般思维方法。
(2)通过对一般函数图像的描绘分析,领会函数零点与相应方程之间的关系,掌握零点存在的判定条件。
(3)培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。
过程与方法:
通过画函数图像,分析零点的存在性。
情感态度与价值观:
使学生再次领略“数形”的有机结合,渗透由抽象到具体的思想,理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。
五.教学重点
重点:
理解零点的概念,判定二次函数零点的个数,会求函数的零点.
难点:
探究发现函数存在零点的方法及函数零点的应用
六.教学程序与环节设计
利用《几何画板》描绘某些特殊函数图像,找出零点,并尝试进行系统的总结.
具体流程设计
一、创设情境
x
y
O
画函数
的图像,并观察其图象与其对应的一元二次方程
的根的关系。
[师生互动]
师:
引导学生通过配方,画函数图象,分析方程的根与图象和
轴交点坐标的关系。
生:
独立画图,独立思考。
设计意图:
通过数与形的结合说明函数图像与性质的关系。
再次利用《几何画板》绘制函数
、
的图像,并观察它们的图像与对应的一元二次方程
引出零点的概念,将上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样?
完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流.
设计意图:
利用《几何画板》的帮助,使学生的认知起点与新知识平顺对接,形成零点概念的初步认识。
几个特殊的函数与方程又具有很强的概括性,包括方程有两不相等的根、两相等的根、无根的情况,研究它们有利于培养学生思维的完整性,为学生
归纳方程与函数的关系铺好了台阶。
二、组织探究
对于函数
,把使
成立的实数
叫做函数
的零点(zeropoint).
函数零点的意义:
函数
的零点就是方程
实数根,亦即函数
的图象与
轴交点的横坐标.即:
方程
有实数根
轴有交点
有零点.
引导学生仔细体会理解零点的概念,进而感悟其中的思想方法
结合图像认真理解函数零点的意义,并对零点出现的条件进行思考,根据函数零点的意义探索其求法.
通过函数零点概念的形成过程,让学生对零点的概念由初步的认识到掌握,并且对一般概念的形成过程有一个更深刻的认识
三、意义构建
函数零点的求法:
求函数
的零点:
(代数法)求方程
的实数根;
(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
引导学生就将由图象得到的概念进一步深化,得到函数零点的求法。
得到函数零点的求解方法,第一:
代数法,即求解函数对应的方程;
第二:
几何法,画出函数图像,找出零点。
深刻认识图象与函数性质的关系,并掌握用几何法求函数的零点。
二次函数
零点个数的判定方法:
判别式
一元二次方程
有两个不相等的实根
有两个零点
有两个相等的实根(重根)
有一个二重的零点或有二阶零点
没有实根
没有零点
[师生互动]
引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况.
根据函数零点的意义,探索研究二次函数的图像的性质,完全独立完成对二次函数零点情况的分析,总结概括形成结论,并进行交流。
让学生对特殊的函数零点产生直观认识,深化零点概念
四、探索研究
(Ⅰ)观察二次函数
的图象
①在区间
上有零点______;
______,
_______,
_____0(
或
).
②在区间
·
____0(
结论:
二次函数零点的性质
(1)当函数的图象通过零点时(不是二重零点)函数的值变号.
(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(Ⅱ)观察下面函数
a
b
c
d
上______(有/无)零点;
③在区间
).
零点存在性定理如果函数
在区间
上的图象是连续不间断的一条曲线,并且有
,那么,函数
内至少存在一个零点,即存在
,使得
,这个
也就是方程
的根.
注意:
(1)此性质成立的前提:
函数图象是连续不间断的一条曲线;
(2)零点
并不一定是唯一的,但一定存在;
(3)
是函数
内有零点的充分条件。
但是若函数
是一次、二次函数时,则
内有零点的充要条件。
引导学生结合教师所提出的问题及函数图像,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在之间的关系。
结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析。
如何由函数零点的概念过度到函数零点的判定方法是本节课的难点,这样设计,有得于营造气氛,调动学生的积极性,内容由浅入深,既展现了知识的形成过程,又体现了能力的培养,符合素质教育的思想。
五、例题研究
例题1:
的零点,并指出
,
时,
的取值范围.
解:
由
得,
∴函数
的零点为-3,1.
=
画出图象,
由图象观察可得:
当
2
4
6
8
-2
-4
-6
,∴函数的零点为-3,1
的取值范围是
.
例题2:
的零点,并画出它的图象.
∵
∴函数的零点为-1,1,2
三个零点把
轴分成四个区间:
列表
描点
连线
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2.5
-4.38
1.88
1.13
-0.63
2.63
说明:
求三次函数的零点关键是能正确地进行因式分解,而作它的图象,可先由零点分析出函数值的正负变化情况,再进行适当的取点。
因式分解的方法主要有:
提取公因式法,分组分解法,公式法,十字相乘法等.
引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机画函数的图象,结合图象对函数有一个零点形成直观的认识.
借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用函数单调性判断零点的个数.
体现零点存在的判定思想,让学生自己动手做数学,玩数学,体会数学,感受成功,在这些综合性、趣味性强的练习中,充分体现了尝试教学和愉快教学。
六、尝试练习
1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根:
(1)
;
(2)
(3)
(4)
2.求出下列函数的零点,并画出函数的草图:
.
结合图象考察零点所在的大致区间与个数,结合函数的单调性说明零点的个数,并再次明确学习目标
认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用,并总结出确定函数零点的一般步骤。
拓展学生思维,培养思考能力,突出数形结合的思想。
七、作业反馈
1.教材P77练习A第1、2题;
2.求下列函数的零点:
.
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