向量组与矩阵的秩文档格式.docx
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一般,我们用小写的粗黑体字母,如
等来表示向量,(3.1)式称为一个行向量,(3.2)式称为一个列向量.数
称为这个向量的分量.
称为这个向量的第
个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量;
分量是复数的向量称为复向量.
实际上,
维行向量可以看成
矩阵,
维列向量也常看成
矩阵.
下面我们只讨论实向量.设
和
为两个任意的常数.
为三个任意的
维向量,其中
.
定义2如果
对应的分量都相等,即
就称这两个向量相等,记为α=β.
定义3向量
(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)
称为α与β的和,记为α+β.称向量
(ka1,ka2,…,kan)
为α与k的数量乘积,简称数乘,记为kα.
定义4分量全为零的向量
(0,0,…,0)
称为零向量,记为0.α与-1的数乘
(-1)α=(-a1,-a2,…,-an)
称为α的负向量,记为-α.向量的减法定义为
α-β=α+(-β).
向量的加法与数乘具有下列性质:
(1) α+β=β+α;
(交换律)
(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);
(结合律)
(3) α+0=α;
(4) α+(-α)=0;
(5) k(α+β)=kα+kβ;
(6)(k+l)α=kα+lα;
(7) k(lα)=(kl)α;
(8) 1α=α;
(9) 0α=0;
(10) k0=0.
在数学中,满足(1)~(8)的运算称为线性运算.我们还可以证明:
(11) 如果k≠0且α≠0,那么kα≠0.
显然,n维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义,与把它们看作行矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地,我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算,这些运算与把它们看成列矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的,并且同样具有性质(1)~(11).
例1设
求
解
例2设
且
解由
得
通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n维行量组α1,α2,…,αs可以排列
成一个s×
n分块矩阵
其中αi为由A的第i行形成的子块,α1,α2,…,αs称为A的行向量组.n维列向量组β1,β2,…,βs可以排成一个n×
s矩阵B=(β1,β2,…,βs),其中βj为B的第j列形成的子块,β1,β2,…,βs称为B的列向量组.这样,矩阵
就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.向量组之间的关系可用矩阵来研究;
反过来,矩阵的问题也可用向量组来研究.
§
2线性相关与线性无关
定义5向量组α1,α2,…,αs称为线性相关的,如果有不全为零的数k1,k2,…,ks,使
=k1α1+k2α2+…+ksαs=0.(3.3)
反之,如果只有在k1=k2=…=ks=0时(3.3)才成立,就称α1,α2,…,αs线性无关.
换言之,当α1,α2,…,αs是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的1×
s矩阵
(k1,k2,…,ks)使
当α1,α2,…,αs为列向量组时,它们线性相关就是指有非零的s×
1矩阵(k1,k2,…,ks)′使
显然,单个零向量构成的向量组是线性相关的.
例3判断向量组
的线性相关性.
解对任意的常数k1,k2,…,kn都有
k1ε1+k2ε2+…+knεn=(k1,k2,…,kn).
所以
k1ε1+k2ε2+…+knεn=0
当且仅当
k1=k2=…=kn=0.
因此ε1,ε2,…,εn线性无关.
ε1,ε2,…,εn称为基本单位向量.
例4判断向量组
α1=(1,1,1),α2=(0,2,5),α3=(1,3,6)
解对任意的常数k1,k2,k3都有
k1α1+k2α2+k3α3=(k1+k3,k1+2k2+3k3,k1+5k2+6k3).
k1α1+k2α2+k3α3=0
由于
k1=1,k2=1,k3=-1
满足上述的方程组,因此
1α1+1α2+(-1)α3=α1+α2-α3=0.
所以α1,α2,α3线性相关.
例5设向量组α1,α2,α3线性无关,β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1,试证向量组β1,β2,β3也线性无关.
证对任意的常数都有
k1β1+k2β2+k3β3=(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3.
设有k1,k2,k3使
k1β1+k2β2+k3β3=0.
由α1,α2,α3线性无关,故有
由于满足此方程组的k1,k2,k3的取值只有
k1=k2=k3=0,
所以β1,β2,β3线性无关.
定义6向量α称为向量组β1,β2,…,βt的一个线性组合,或者说α可由向量组β1,β2,…,βt线性表出(示),如果有常数k1,k2,…,kt使
α=k1β1+k2β2+…+ktβt.
此时,也记
例6设α1=(1,1,1,1),α2=(1,1,-1,-1),α3=(1,-1,1,-1),α4=(1,-1,-1,1),
β=(1,2,1,1).试问β能否由α1,α2,α3,α4线性表出?
若能,写出具体表达式.
解令
β=k1α1+k2α2+k3α3+k4α4
于是得线性方程组
因为
由克莱姆法则求出
即β能由α1,α2,α3,α4线性表出.
例7设α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问γ能否由α,β线性表出?
解设γ=k1α+k2β
于是得方程组
由第一个方程得k1=0,代入第二个方程得k2=7,但k2不满足第三个方程,故方程组无解.
所以γ不能由α,β线性表出.
定理1向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性表出.
证设α1,α2,…,αs中有一个向量能由其余向量线性表出,不妨设
α1=k2α2+k3α3+…+ksαs,
那么
-α1+k2α2+…+ksαs=0,
所以α1,α2,…,αs线性相关.反过来,如果α1,α2,…,αs线性相关,就有不全为零的数k1,k2,…,ks,使
k1α1+k2α2+…+ksαs=0.
不妨设k1≠0,那么
即α1能由α2,α3,…,αs线性表出.
例如,向量组
α1=(2,-1,3,1),α2=(4,-2,5,4),α3=(2,-1,4,-1)
是线性相关的,因为
α3=3α1-α2.
显然,向量组α1,α2线性相关的充分必要条件是存在常数k,使得两向量的对应分量成比例.在三维的情形,这就表示向量α1与α2共线.三个向量α1,α2,α3线性相关的几何意义就是它们共面.
定理2设向量组β1,β2,…,βt线性无关,而向量组β1,β2,…,βt,α线性相关,则α能由向量组β1,β2,…,βt线性表出,且表示式是惟一的.
证由于β1,β2,…,βt,α线性相关,就有不全为零的数k1,k2,…,kt,k使
k1β1+k2β2+…+ktβt+kα=0.
由β1,β2,…,βt线性无关可以知道k≠0.因此
即α可由β1,β2,…,βt线性表出.设
α=l1β1+l2β2+…+ltβt=h1β1+h2β2+…+htβt
为两个表示式.由
α-α=(l1β1+β2+…+ltβt)-(h1β1+h2β2+…+htβt)
=(l1-h1)β1+(l2-h2)β2+…+(lt-ht)βt=0
和β1,β2,…,βt线性无关可以得到
l1=h1,l2=h2,…,lt=ht.
因此表示式是惟一的.
定义7如果向量组α1,α2,…,αs中每个向量都可由β1,β2,…,βt线性表出,就称向量组α1,α2,…,αs可由β1,β2,…,βt线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出,就称它们等价.
显然,每一个向量组都可以由它自身线性表出.同时,如果向量组α1,α2,…,αt可以由向量组β1,β2,…,βs线性表出,向量组β1,β2,…,βs可以由向量组
线性表出,那么向量组α1,α2,…,αt可以由向量组
线性表出.
事实上,如果
这就是说,向量组α1,α2,…,αt中每一个向量都可以由向量组
线性表出.因而,向量组α1,α2,…,αs可以由向量组
由上述结论,得到向量组的等价具有下述性质:
(1)反身性:
向量组α1,α2,…,αs与它自己等价.
(2)对称性:
如果向量组α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt等价,那么β1,β2,…,βt也与α1,α2,…,αs等价.
(3)传递性:
如果向量组α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt等价,而向量组β1,β2,…,βt又与
等价,那么α1,α2,…,αs与
等价.
3线性相关性的判别定理
利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂,我们有时可以直接利用向量组的特点来判断它的线性相关性,通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组.
定理3有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关.
证设向量组α1,α2,…,αs有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为α1,α2,…,αr
.则有不全为零的数k1,k2,…,kr使
因此α1,α2,…,αs也线性相关.
推论含有零向量的向量组必线性相关.
定理4设p1,p2,…,pn为1,2,…,n的一个排列,α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs为两向量组,其中
即β1,β2,…,βs是对α1,α2,…,αs各分量的顺序进行重排后得到的向量组,则这两个向量组有相同的线性相关性.
证对任意的常数k1,k2,…,ks注意到列向量
只是各分量的排列顺序不同,因此
k1β1+k2β2+…+ksβs=0
k1α1+k2α2+…+ksαs=0.
所以α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs有相同的线性相关性.
定理4是对列向量叙述的.对行向量也有相同的结论.类似这样的情形,今后不再说明.
定理5在r维向量组α1,α2,…,αs的各向量添上n-r个分量变成n维向量组β1,β2,…,βt .
(1)如果β1,β2,…,βst线性相关,那么α1,α2,…,αs也线性相关.
(2)如果α1,α2,…,αs线性无关,那么β1,β2,…,βs也线性无关.
证我们对列向量来证明定理,设
(α1,α2,…,αs)=A1,
(β1,β2,…,βs)=
如果β1,β2,…,βs线性相关,就有一个非零的s×
1矩阵X使
(β1,β2,…,βs)X=
X=
=0.
从而
(α1,α2,…,αs)X=A1X=0.
因此α1,α2,…,αs也线性相关,即
(1)成立.利用
(1),用反证法容易证明
(2)也成立.
定理6设
是一个n阶方阵,则
的行(列)向量组线性相关的充分必要条件是
证设
是矩阵
的列到向量组.令
.
则
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- 向量 矩阵
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