实用参考考研数学真题答案数一Word格式文档下载.docx
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2、设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,则()
(A)(B)
(C)(D)
(A)
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法
【详解】为齐次方程的解,所以2、1为特征方程的根,从而再将特解代入方程得:
3、若级数条件收敛,则与依次为幂级数的:
(A)收敛点,收敛点(B)收敛点,发散点
(C)发散点,收敛点(D)发散点,发散点
(B)
【考点】级数的敛散性
【难易度】★★★
【详解】因为条件收敛,故为幂级数的条件收敛点,进而得的收敛半径为1,收敛区间为,又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间,故的收敛区间仍为,因而与依次为幂级数的收敛点、发散点.
4、设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域,函数在D上连续,则
(D)
【考点】二重积分的极坐标变换
【详解】由得,;
由得,
所以
5、设矩阵,,若集合,则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为
【考点】非齐次线性方程组的解法
【详解】
有无穷多解
或且或
6、设二次型在正交变换下的标准形为,其中
,若,则在正交变换下的标准形为
【考点】二次型
【详解】由,故且:
所以,故选(A)
7、若为任意两个随机事件,则
【考点】
故选
8、设随机变量不相关,且则
(A)-3(B)3(C)-5(D)5
二、填空题:
9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
9、
【考点】极限的计算
10、
【考点】积分的计算
11、若函数由方程确定,则.
【考点】隐函数求导
【详解】令,则,,,又当时,,所以,,因而
12、设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域,则
【考点】三重积分的计算
【详解】由轮换对称性,得
其中为平面截空间区域所得的截面,其面积为.所以
13、n阶行列式
【考点】行列式的计算
【详解】按第一行展开得
14、设二维随机变量服从正态分布,则.
【详解】,且独立
,
三、解答题:
15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、(本题满分10分)
设函数,,若与在是等价无穷小,求,,值。
【考点】等价无穷小量,极限的计算
是等价无穷小
16、(本题满分10分)
设函数在定义域上的导数大于零,若对任意的,曲线在点处的切线与直线及G轴所围成的区域的面积为4,且,求的表达式.
【考点】微分方程
【详解】如下图:
处的切线方程为:
与轴的交点为:
时,,则,
因此,.即满足微分方程:
,解得:
.
又因,所以,故.
17、(本题满分10分)
已知函数,曲线,求在曲线上的最大方向导数.
【考点】方向导数,条件极值
【详解】根据方向导数与梯度的关系可知,方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.,故
故在曲线上的最大方向导数为,其中满足,即就求函数在约束条件下的最值.
构造拉格朗日函数
令可得
其中
综上根据题意可知在曲线上的最大方向导数为.
18、(本题满分10分)
(Ⅰ)设函数可导,利用导数定义证明
(Ⅱ)设函数可导,写出的求导公式.
【考点】导数定义
19、(本题满分10分)
已知曲线的方程为起点为,终点为,计算曲线积分
【考点】曲线积分的计算
【详解】曲线的参数方程为从到
20、(本题满分11分)
设向量组是3维向量空间的一个基,,,。
(Ⅰ)证明向量组是的一个基;
(Ⅱ)当k为何值时,存在非零向量在基与基下的坐标相同,并求出所有的。
【考点】线性无关,基下的坐标
(Ⅰ)
因为,
所以线性无关,是的一个基。
(Ⅱ)设,为从基到基的过渡矩阵,又设在基下的坐标为,则在基下的坐标为,
由,得,即
由,得,并解得为任意常数。
从而为任意常数。
21、(本题满分11分)
设矩阵相似于矩阵.
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)求可逆矩阵,使得为对角阵.
【考点】相似矩阵,相似对角化
【详解】由相似于
则解得
当
特征向量
则特征向量所以得
22、(本题满分11分)
设随机变量的概率密度为
对进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记为观测次数.
(Ⅰ)求的概率分布;
(Ⅱ)求.
【难易度】★★★★
()
设级数
23、(本题满分11分)
设总体的概率密度为
其中为未知参数,为来自该总体的简单随机样本.
(Ⅰ)求的矩估计.
(Ⅱ)求的最大似然估计.
【详解】由题可得()
()联合概率密度
,故取
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