江苏省南通等六市届高三第二次调研二模数学Word格式.docx
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11.在平面直角坐标系xOy中,若动圆C上的点都在不等式组
表示的平面区域内,则面积最大的圆C的标准方程为______________.
12.设函数f(x)=
(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点,则实数m的取值范围是________.
13.在平面四边形ABCD中,已知AB=1,BC=4,CD=2,DA=3,则
·
的值为________.
14.已知a为常数,函数f(x)=
的最小值为-
,则a的所有值为________.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cosα,sinα),b=(-sinβ,cosβ),c=(-
,
).
(1)若|a+b|=|c|,求sin(α-β)的值;
(2)设α=
,0<β<π,且a∥(b+c),求β的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC,点E,F分别在棱BB1,CC1上(均异于端点),且∠ABE=∠ACF,AE⊥BB1,AF⊥CC1.求证:
(1)平面AEF⊥平面BB1C1C;
(2)BC∥平面AEF.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,B1,B2是椭圆
+
=1(a>b>0)的短轴端点,P是椭圆上异于点B1,B2的一动点.当直线PB1的方程为y=x+3时,线段PB1的长为4
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点Q满足:
QB1⊥PB1,QB2⊥PB2.求证:
△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值.
18.(本小题满分16分)
将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图),并沿虚线l1,l2裁剪成A,B,C三个矩形(B,C全等),用来制成一个柱体.现有两种方案:
方案①:
以l1为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;
方案②:
以l2为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面.
(1)设B,C都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径;
(2)设l1的长为xdm,则当x为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?
19.(本小题满分16分)
设等比数列a1,a2,a3,a4的公比为q,等差数列b1,b2,b3,b4的公差为d,且q≠1,d≠0.
记ci=ai+bi(i=1,2,3,4).
(1)求证:
数列c1,c2,c3不是等差数列;
(2)设a1=1,q=2.若数列c1,c2,c3是等比数列,求b2关于d的函数关系式及其定义域;
(3)数列c1,c2,c3,c4能否为等比数列?
并说明理由.
20.(本小题满分16分)
设函数f(x)=x-asinx(a>0).
(1)若函数y=f(x)是R上的单调增函数,求实数a的取值范围;
(2)设a=
,g(x)=f(x)+blnx+1(b∈R,b≠0),g′(x)是g(x)的导函数.
①若对任意的x>0,g′(x)>0,求证:
存在x0,使g(x0)<0;
②若g(x1)=g(x2)(x1≠x2),求证:
x1x2<4b2.(这是边文,请据需要手工删加)
2018届高三模拟考试试卷(十三)
数学附加题(满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(选修41:
几何证明选讲)
如图,A,B,C是圆O上的3个不同的点,半径OA交弦BC于点D.求证:
DB·
DC+OD2=OA2.
B.(选修42:
矩阵与变换)
在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,0),B(3,0),C(2,2).设变换T1,T2对应的矩阵分别为M=
,矩阵N=
,求对△ABC依次实施变换T1,T2后所得图形的面积.
C.(选修44:
坐标系与参数方程)
在极坐标系中,求以点P(2,
)为圆心且与直线l:
ρsin(θ-
)=2相切的圆的极坐标方程.
D.(选修45:
不等式选讲)
已知a,b,c为正实数,且a+b+c=
,求证:
≥2.
【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22.在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖:
由电脑随机生成一张如图所示的3×
3表格,其中1格设奖300元,4格各设奖200元,其余4格各设奖100元,点击某一格即显示相应金额.某人在一张表中随机不重复地点击3格,记中奖总金额为X元.
(1)求概率P(X=600);
(2)求X的概率分布及数学期望E(X).
23.已知(1+x)2n+1=a0+a1x+a2x2+…+a2n+1x2n+1,n∈N*.记Tn=
(2k+1)an-k.
(1)求T2的值;
(2)化简Tn的表达式,并证明:
对任意的n∈N*,Tn都能被4n+2整除.
2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)
数学参考答案及评分标准
1.{1,3} 2.
3.30 4.125 5.
6.
7.4
8.
9.-6 10.8
11.(x-1)2+y2=4 12.(1,+∞) 13.10 14.4,
15.解:
(1)因为a=(cosα,sinα),b=(-sinβ,cosβ),c=(-
),
所以|a|=|b|=|c|=1,且a·
b=-cosαsinβ+sinαcosβ=sin(α-β).(3分)
因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=c2,即a2+2a·
b+b2=1,
所以1+2sin(α-β)+1=1,即sin(α-β)=-
.(6分)
(2)因为α=
,所以a=(-
).故b+c=(-sinβ-
,cosβ+
).(8分)
因为a∥(b+c),所以-
(cosβ+
)-
(-sinβ-
)=0.
化简得
sinβ-
cosβ=
,所以sin(β-
)=
.(12分)
因为0<
β<
π,所以-
<
β-
.所以β-
=
,即β=
.(14分)
16.证明:
(1)在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1∥CC1.因为AF⊥CC1,所以AF⊥BB1.(2分)
又AE⊥BB1,AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,所以BB1⊥平面AEF.(5分)
因为BB1⊂平面BB1C1C,所以平面AEF⊥平面BB1C1C.(7分)
(2)因为AE⊥BB1,AF⊥CC1,∠ABE=∠ACF,AB=AC,
所以Rt△AEB≌Rt△AFC.所以BE=CF.(9分)
又由
(1)知,BE∥CF,所以四边形BEFC是平行四边形.故BC∥EF.(11分)
又BC⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,所以BC∥平面AEF.(14分)
17.解:
设P(x0,y0),Q(x1,y1).
(1)在y=x+3中,令x=0,得y=3,从而b=3.(2分)
由
得
=1,所以x0=-
.(4分)
因为PB1=
=|x0|,所以4
,解得a2=18.
所以椭圆的标准方程为
=1.(6分)
(2)(方法1)直线PB1的斜率为kPB1=
,由QB1⊥PB1,所以直线QB1的斜率为kQB1=-
.
于是直线QB1的方程为y=-
x+3.
同理,QB2的方程为y=-
x-3.(8分)
联立两直线方程,消去y,得x1=
.(10分)
因为P(x0,y0)在椭圆+
=1上,所以
+=1,从而y-9=-
所以x1=-
所以
=2.(14分)
(证法2)设直线PB1,PB2的斜率为k,k′,则直线PB1的方程为y=kx+3.
由QB1⊥PB1,直线QB1的方程为y=-
将y=kx+3代入
=1,得(2k2+1)x2+12kx=0,
因为P是椭圆上异于点B1,B2的点,所以x0≠0,从而x0=-
.(8分)
因为P(x0,y0)在椭圆
所以k·
k′=·
=-
,得k′=-
由QB2⊥PB2,所以直线QB2的方程为y=2kx-3.
联立
则x=
,即x1=
18.解:
(1)设所得圆柱的半径为rdm,则(2πr+2r)×
4r=100,(4分)
解得r=
(2)设所得正四棱柱的底面边长为adm,则
即
(9分)
(方法1)所得正四棱柱的体积V=a2x≤
(11分)
记函数p(x)=
则p(x)在(0,2
]上单调递增,在[2
,+∞)上单调递减,所以当x=2
时,pmax(x)=20
所以当x=2
,a=
时,Vmax=20
(dm3).(14分)
(方法2)2a≤x≤
,从而a≤
.(11分)
所得正四棱柱的体积V=a2x≤a2(
)=20a≤20
所以当a=
,x=2
答:
(1)圆柱的底面半径为
dm;
(2)当x为2
时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大.(16分)
【评分说明】
①直接“由x·
(2x+
)=100得x=2
时正四棱柱的体积最大”给2分;
②方法1中的求解过程要体现V≤p(x)≤2
,凡写成V=p(x)≤2
的最多得5分,
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