对数函数图象及其性质知识点及例题解析Word格式.docx

对数函数图象及其性质知识点及例题解析Word格式.docx

《对数函数图象及其性质知识点及例题解析Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对数函数图象及其性质知识点及例题解析Word格式.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（2）

对数式后加2

（3）

真数为x＋1，不是x，且系数为8，不是1

（4）

底数是自变量x，不是常数

（5）

√

底数是6，真数是x

题型二底数对图象的影响

【例2】如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a从

，

中取值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为（　　）

A．

B．

C．

D．

由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1的底数．故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是

．答案：

A

点技巧作直线y＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．

题型三对数型函数的定义域的求解

（1）对数函数的定义域为（0，＋∞）．

（2）在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．

若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．

（3）求函数的定义域应满足以下原则：

①分式中分母不等于零；

②偶次根式中被开方数大于或等于零；

③指数为零的幂的底数不等于零；

④对数的底数大于零且不等于1；

⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．

【例3】求下列函数的定义域．

（1）y＝log5（1－x）；

（2）y＝log（2x－1）（5x－4）；

（3）

．

分析：

利用对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的定义求解．

解：

（1）要使函数有意义，则1－x＞0，解得x＜1，故函数y＝log5（1－x）的定义域是{x|x＜1}．

（2）要使函数有意义，则

解得x＞

且x≠1，

故函数y＝log（2x－1）（5x－4）的定义域是

（1，＋∞）．

（3）要使函数有意义，则

解得

＜x≤1，

故函数

的定义域是

题型四对数型函数的值域的求解

方法一、充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．

方法二、对于形如y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下：

①分解成y＝logau，u＝f（x）这两个函数；

②求f（x）的定义域；

③求u的取值范围；

④利用y＝logau的单调性求解．

方法三、对于函数y＝f（logax）（a＞0，且a≠1），可利用换元法，设logax＝t，则函数f（t）（t

R）的值域就是函数f（logax）（a＞0，且a≠1）的值域．

注意：

（1）若对数函数的底数是含字母的代数式（或单独一个字母），要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．

（2）求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．

【例4】求下列函数的值域：

（1）y＝log2（x2＋4）；

（2）y＝

（1）∵x2＋4≥4，∴log2（x2＋4）≥log24＝2．

∴函数y＝log2（x2＋4）的值域为[2，＋∞）．

（2）设u＝3＋2x－x2，则u＝－（x－1）2＋4≤4．∵u＞0，∴0＜u≤4．

又y＝

在（0，＋∞）上为减函数，∴

≥－2．

∴函数y＝

的值域为[－2，＋∞）．

【例4－1】已知f（x）＝2＋log3x，x

[1,3]，求y＝[f（x）]2＋f（x2）的最大值及相应的x的值．

先确定y＝[f（x）]2＋f（x2）的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．

∵f（x）＝2＋log3x，x

[1,3]，

∴y＝[f（x）]2＋f（x2）＝（log3x）2＋6log3x＋6且定义域为[1,3]．

令t＝log3x（x

[1,3]）．

∵t＝log3x在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t≤1．

从而要求y＝[f（x）]2＋f（x2）在区间[1,3]上的最大值，只需求y＝t2＋6t＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y＝t2＋6t＋6在[－3，＋∞）上是增函数，

∴当t＝1，即x＝3时，ymax＝1＋6＋6＝13．

综上可知，当x＝3时，y＝[f（x）]2＋f（x2）的最大值为13．

题型五对数函数的图象变换及定点问题

（1）与对数函数有关的函数图象过定点问题

对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）过定点（1,0），即对任意的a＞0，且a≠1都有loga1＝0．

这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．

对于函数y＝b＋klogaf（x）（k，b均为常数，且k≠0），令f（x）＝1，解方程得x＝m，则该函数恒过定点（m，b）．方程f（x）＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．

（2）对数函数的图象变换的问题

①函数y＝logax（a＞0，且a≠1）

函数y＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）

②函数y＝logax（a＞0，且a≠1）

函数y＝logax＋b（a＞0，且a≠1）

③函数y＝logax（a＞0，且a≠1）

函数y＝loga|x|（a＞0，且a≠1）

④函数y＝logax（a＞0，且a≠1）

函数y＝|logax|（a＞0，且a≠1）

【例5】若函数y＝loga（x＋b）＋c（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（3,2），则实数b，c的值分别为__________．

∵函数的图象恒过定点（3,2），

∴将（3,2）代入y＝loga（x＋b）＋c（a＞0，且a≠1），得2＝loga（3＋b）＋c．

又∵当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，

∴c＝2．∴loga（3＋b）＝0．

∴b＝－2．答案：

－2,2

【例5－1】作出函数y＝|log2（x＋1）|＋2的图象．

（第一步）作函数y＝log2x的图象，如图①；

（第二步）将函数y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得函数y＝log2（x＋1）的图象，如图②；

（第三步）将函数y＝log2（x＋1）在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得函数y＝|log2（x＋1）|的图象，如图③；

（第四步）将函数y＝|log2（x＋1）|的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．

题型六利用对数函数的单调性比较大小

两个对数式的大小比较有以下几种情况：

（1）底数相同，真数不同．

（2）底数不同，真数相同．

（3）底数不同，真数也不同．（4）对于多个对数式的大小比较

对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．

【例6】比较下列各组中两个值的大小．

（1），log32；

（2）log23，；

（3）logaπ，．

（1）构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；

（2）分别比较与0的大小；

（3）分类讨论底数的取值范围．

（1）因为函数y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，所以f＜f

（2）．所以＜log32．

（2）因为log23＞log21＝0，＜＝0，所以log23＞．

（3）当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞；

当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，

则有logaπ＜．

综上所得，当a＞1时，logaπ＞；

当0＜a＜1时，logaπ＜．

【例6－1】若a2＞b＞a＞1，试比较

，logba，logab的大小．

利用对数函数的单调性或图象进行判断．

∵b＞a＞1，∴0＜

＜1．∴

＜0，logab＞logaa＝1，logb1＜logba＜logbb，

即0＜logba＜1．

由于1＜

＜b，∴0＜

＜1．由logba－

＝

∵a2＞b＞1，∴

＞1．∴

＞0，即logba＞

∴logab＞logba＞

＞

题型七利用对数函数的单调性解不等式

常见的对数不等式有三种类型：

①形如logaf（x）＞logag（x）的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．

②形如logaf（x）＞b的不等式，应将b化为以a为对数的对数式的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解．

③形如logaf（x）＞logbg（x）的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．

④形如f（logax）＞0的不等式，可用换元法（令t＝logax），先解f（t）＞0，得到t的取值范围．然后再解x的范围．

【例7】解下列不等式：

；

（2）logx（2x＋1）＞logx（3－x）．

（1）由已知，得

解得0＜x＜2．故原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

（2）当x＞1时，有

解得1＜x＜3；

当0＜x＜1时，有

解得0＜x＜

所以原不等式的解集是

【例7－1】若

＜1，求a的取值范围．

∵

＜1，∴－1＜

＜1，即

（1）∵当a＞1时，y＝logax为增函数，

∴

．∴a＞

，结合a＞1，可知a＞

（2）∵当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，∴

∴a＜

，结合0＜a＜1，知0＜a＜

∴a的取值范围是

题型八对数型函数单调性的讨论

（1）解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：

一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；

二是运用复合法来判断其单调性；

三是注意其定义域．

（2）关于形如y＝logaf（x）一类函数的单调性，有以下结论：

函数y＝logaf（x）的单调性与u＝f（x）（f（x）＞0）的单调性，当a＞1时相同，当0＜a＜1时相反．

【例8】求函数y＝log2（3－2x）的单调区间．

首先确定函数的定义域，函数y＝log2（3－2x）是由对数函数y＝log2u和一次函数u＝3－2x复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u＝3－2x的单调性、值域入手，并结合函数y＝log2u的单调性考虑．

由3－2x＞0，解得函数y＝log2（3－2x）的定义域是

设u＝3－2x，x

∵u＝3－2x在

上是减函数，且y＝log2u在（0，＋∞）上单调递增，

∴函数y＝log2（3－2x）在

上是减函数．

∴函数y＝log2（3－2x）的单调减区间是

【例8-1】求函数y＝loga（a－ax）的单调区间．

（1）若a＞1，则函数y＝logat递增，且函数t＝a－ax递减．

又∵a－ax＞0，即ax＜a，

∴x＜1．∴函数y＝loga（a－ax）在（－∞，1）上递减．

（2）若0＜a＜1，则函数y＝logat递减，且函数t＝a－ax递增．

又∵a－ax＞0，即ax＜a，∴x＞1．

∴函数y＝loga（a－ax）在（1，＋∞）上递减．

综上所述，函数y＝loga（a－ax）在其