数值计算方法试题和答案解析.docx
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数值计算方法试题和答案解析.docx
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数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一
一、填空题(每空1分,共17分)
1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分
)次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在()。
3、已知是三次样条函数,则
=(),=(),=()。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则
(),(),当时()。
5、设和节点则
禾廿。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为,5个节
点的求积公式最高代数精度为。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中,
则。
8给定方程组,为实数,当满足,且时,SOR迭代法
收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是
阶方法。
10、设,当()时,必有分解式,其中为下三角阵,当
其对角线元素满足()条件时,这种分解是唯一的。
二、二、选择题(每题2分)
1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是()。
(1),
(2),(3),(4)
2、在牛顿-柯特斯求积公式:
中,当系数是负值时,公式的稳定性不
能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式
不使用。
(1),
(2),(3),(4),
3、有下列数表
x
0
1
2
f(x)
-2
-1
2
所确定的插值多项式的次数是()。
(1)二次;
(2)三次;(3)四次;(4)五次
4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定,步长的取值范围为()。
(1),
(2),(3),(4)
三、1、(8分)用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据:
19
25
30
38
2、(15分)用的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算时,
(1)
(1)试用余项估计其误差。
(2)用的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算出该积分的近似值。
四、1、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式
(1)对应迭代格式;
(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。
2、(8分)已知方程组,其中
(1)
(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代
法的分量形式。
(2)
(2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR迭代法。
五、1、(15分)取步长,求解初值问题用改进的欧拉法求的值;用经典的四阶龙格一库塔法求的值。
2、(8分)求一次数不高于4次的多项式使它满足
5555
六、(下列2题任选一题,4分)
1、1、数值积分公式形如
(1)
(1)试确定参数使公式代数精度尽量高;
(2)
设,推导余项公式,并估计误差。
2、2、用二步法
求解常微分方程的初值问题时,如何选择参数使方法阶数尽可能高,
并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。
数值计算方法试题二
一、判断题:
(共16分,每小题2分)
1、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵,使唯成立。
()
2、当时,Newton—cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
()
3、形如的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精确度的次数为。
()
4、矩阵的2—范数=9O()
5、设,则对任意实数,方程组都是病态的。
(用)()
6、设,,且有(单位阵),则有。
()
7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的,且唯一。
()
8、对矩阵A作如下的Doolittle分解:
,则的值分别为2,2。
()
二、填空题:
(共20分,每小题2分)1、设,则均差
2、设函数于区间上有足够阶连续导数,为的一个重零点,Newton
迭代公式的收敛阶至少是阶。
3、区间上的三次样条插值函数在上具有直到的连续
导数。
4、向量,矩阵,则
5、为使两点的数值求积公式:
具有最高的代数精确度,则其求积
基点应为,。
6、设,,则(谱半径)。
(此处填小于、大于、等于)
7、设,则。
三、简答题:
(9分)
1、1、方程在区间内有唯一根,若用迭代公式:
,则其产生
的序列是否收敛于?
说明理由。
2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选
主元的技术?
3、3、设,试选择较好的算法计算函数值。
四、(10分)已知数值积分公式为:
,试确定积分公式中的参数,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。
五、(8分)已知求的迭代公式为:
证明:
对一切,且序列是单调递减的,从而迭代过程收敛。
六、(9分)数值求积公式是否为插值型求积公式?
为什么?
其代数精度是多少?
七、(9分)设线性代数方程组中系数矩阵非奇异,为精确解,,若向量是的一个近似解,残向量,证明估计式:
(假定所用矩阵范数与向量范数相容)。
八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数,试求满足
下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式,并导出其余
项
0
1
2
0
1
2
-1
1
3
3
九、(9分)设是区间上关于权函数的直交多项式序列,为的零点,是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数,为高斯型求积公式,证明:
(1)
(1)当时,
(2)
(3)
十、(选做题8分)
若,
互异,求的值,其中。
数值计算方法试题三
一、(24分)填空题
(1)
(1)(2分)改变函数()的形式,使计算结果较
精确
(2)
(2)(2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的
根,要求精确到第3位小数,则需要对分次。
⑶(3)(2分)设,则
⑷(4)(3分)设是3次样条函数,则
(5)(5)(3分)若用复化梯形公式计算,要求误差不
超过,利用余项公式估计,至少用个求积节点。
(6)(6)(6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭
代公式
,迭代矩阵
此迭代法是否收敛。
(7)(7)(4分)设,则,。
(8)(8)(2分)若用Euler法求解初值问题,为保证
算法的绝对稳定,则步长h的取值范围为
2.(64分)
(1)
(1)(6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的
迭代公式,并证明其收敛性。
⑵
(2)(12分)以100,121,144为插值节点,用插值
法计算的近似值,并利用余项估计误差。
(3)(3)(10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼
近多项式。
(4)(4)(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似
值,要求误差限为。
(5)(5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:
(6)(6)
(8分)求方程组的最小二乘解。
(7)(7)(8分)已知常微分方程的初值问题:
用改进的Euler方法计算的近似值,取步长。
三.(12分,在下列5个题中至多选做3个题)
(1)
(1)(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足:
>>>>
(2)
(2)(6分)构造代数精度最高的如下形式的求
积公式,并求出其代数精度:
(3)(3)(6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于,取特征向量的初始近似值为。
(4)(4)(6分)推导求解常微分方程初值问题
的形式为,i=1,2,…,N
的公式,使其精度尽量高,其中,,i=0,1,…,N,
(5)(5)(6分)求出用差分方法求解常微分方程的边
值问题
所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题三
、(24分)填空题
(9)
(1)(2分)改变函数()的形式,使计算结果较
精确
(10)
(2)
(2
分)若用一分法求方程在区间
[1,2]内的
根,
要求精确到第3
位小数,则需要对分
次。
(11)(3)
(2
分)设,则
(12)(4)
(3
分)设是3次样条函数,则
a=
b=,c=
。
(13)(5)
(3
分)若用复化梯形公式计算,
要求误差不
超过,利用余项公式估计,至少用个求积节点。
(14)(6)(6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭
代公式
,迭代矩阵
此迭代法是否收敛。
(15)(7)(4分)设,则,。
(16)(8)(2分)若用Euler法求解初值问题,为保证
算法的绝对稳定,则步长h的取值范围为
2.(64分)
(8)
(1)
(6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的
迭代公式,并证明其收敛性。
(9)
(2)(12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算的近似值,并利用余项估计误差。
(10)(3)(10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
(11)(4)(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似
值,要求误差限为。
(12)(5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:
(13)(6)(8分)求方程组的最小二乘解。
(14)(7)(8分)已知常微分方程的初值问题:
用改进的Euler方法计算的近似值,取步长。
三.(12分,在下列5个题中至多选做3个题)
(6)
(1)(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)
满足:
>>>>
(7)
(2)(6分)构造代数精度最高的如下形式的求
积公式,并求出其代数精度:
(8)(3)(6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其
相应的单位特征向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距
离小于,取特征向量的初始近似值为。
(9)(4)(6分)推导求解常微分方程初值问题
的形式为,i=1,2,…,N
的公式,使其精度尽量高,其中,,i=0,1,…,N,
(10)(5)(6分)求出用差分方法求解常微分方程的边
值问题
所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题一答案
一、一、填空题(每空1分,共17分)
1、(10)2、()3、=(3),=(3),=
(1)
4、
(1)、()、()5、_6_、6、_9—
7、_0_8、9、_2_10、()、()
二、二、选择题(每题2分)
1、(⑵)2、(
(1))3、(
(1))4、((3))
三、1、(8分)解:
解方程组
其中
解得:
所以,
2、(15分)解:
四、1、(15分)解:
(1),,故收敛;
(2),,故收敛;
(3),,故发散。
选择
(1):
,,,
Steffensen迭代:
SOF迭代法:
五、1、(15分)解:
改进的欧拉法:
所以;
经典的四阶龙格一库塔法:
,所以。
2、(8分)解:
设为满足条件的Hermite插值多项式,则代入条件得:
六、(下列2题任选一题,4分)
1、解:
将分布代入公式得:
构造Hermite插值多项式满足其中则有:
,
2、解:
该方法是二阶的
所以主项:
数值计算方
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- 数值 计算方法 试题 答案 解析