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2.1B.eynolds方程和混合长度理论
十九世纪70年代是Maxwell-Boltzmann分子运动理论取得辉煌成果的时代。
它成功地解释了气体状态方程、气体粘性、气体热传导和气体扩散等一系列现象。
湍流理论开始发展的时候,就受着这种思想支配。
1877年T.V.BonssinesqP]又开始
用表观湍流(涡旋)粘性系数“t來表示湍流剪切应力斑,即
dUdU
Txy=flTd^=pVTd^
式中p为流体密度,巾为湍流(涡旋)运动粘性系数,U为x方向平均速度。
1886年O.Reyiiolds把湍流运动分为平均运动和脉动运动两个部分,乂引进了两种平均效应,一种是分子的平均效应,另一种是流体团的平均效应。
分子平均效应产生圧强和粘性应力,流体团平均效应产生表观的湍流雷诺应力。
1894年他得到了苦名的Reynolds方程
式中Ui为T•均速度,p为T•均压强,g为脉动速度,pujij为Reynolds应力,pp分别为流体密度和粘性系数。
压强可由状态方程给出,粘性应力可用平均流速梯度和粘性系数表示。
Reynolds应力用什么来表示一直是一个很大的问题。
由于Reynolds应力的引入使未知量增加了6个,使流体动力学方程组成为不封闭。
这就是通常所说的湍流的不封闭困难。
从1894年到本世纪30年代,很多人都从事过Reynolds应力用平均流速表示出來的工作。
其中最有名的就是混合长度理论。
它是分子运动理论表述粘性应力方法的直接移植。
1925年Prandt[3]#照分子自由程引入混合长度的概念來讨论单向沿管壁的流动,认为在该长度距离内,被运的动量是一个不变量,而表观剪应力由动量转移所确定,即扩散系数
8=VT=I2
dy
1称为混合长度。
1被认为和离开固壁的距离y成止比。
而Karman则从湍流脉动的局部相似性出发,得到混合长度为
Prandtl的动量转移理论对平均流速分布问题与实验结果较好符合,但在理论上有
严重的不能自圆其说的地方。
因为流体团在流体中运动是受压强作用的,而压强作用是会对流体团的动量产生改变作用的。
因此G.I.Tayior在1932年提出了涡量转移理论,他认为在混合长度这段距离内,动量是在变化的,而是涡量才是一个
dU
不变的量。
由此得到涡旋运动粘性系数VT和涡量扩散系数£
分别为
"
Li"
®
另
这样,不仅克服了理论上的缺陷,而且能同时成功的解释平均流速分布和湍流热扩散两种现象。
以后还有很多人对混合长度理论的表达式进行了修改,并且把它应用到许多
具体问题上,例如尾流、射流等等,曾计算出许多湍流运动的流场和温度场⑷。
在有些问题上动星转移理论较好,有些问题则涡量转移理论与实验更符合。
对不同的具体问题,混合长度有不同的具体表达式。
这就是通常把混合长度理论认为是半经验理论的原因。
在处理混合长度上曾经有过两种不同的观点。
一种是Prandtl的观点,认为混合长度是一个区域性的性质:
另一种是Karman的相似性观点,认为混合长度和
某一点的局部性质有关。
虽然在解决某些特殊问题时结果是相同的,但从概念來看却是完全不同的。
从今天的实验结果來看,似乎Prandtl的观点更符合实际一些。
2・2各向同性湍流的统计理论⑷
从上世纪30年代开始,随着热线风速仪等测量技术的发展,实现了对一点湍流脉动最和不同点上脉动量之间相互关联的测最。
不同随机量之间的相互关联是统计学上常用的处理问题的方法,这就产生了湍流的统计理论。
这种理论主要研究湍流脉动场的统计规律性和湍流运动的内部微结构。
由于要避免平均剪切流动和湍流脉动相互交换能最以及湍流场各向异性和不均匀性等复杂性,G.I.Tayior在1935年讨论了一个和静止气体分子运动论相当的流动状态,这就是均匀各向同性湍流。
他在风洞中网格后面做了大致上和这种流劫状态相当的实验。
讨论了湍
流的关联函数,他令
Uxux'
=u2f(r),uyUy=u2g(r)
式中ui为P点脉动速度,if为P点脉动速度,ffr;
为纵向关联函数,g(丫)为横向关联函数,久就是湍流的Taylor微尺度。
它得到了湍流衰减定律
du2u2
并且讨论了扩散等问题。
1938年和T.voiiKarman和L.Howarth把笛卡尔张量引入不可压缩流体的均匀各向同性湍流理论,简化了GL.Taylor的计算,并且得到了二元速度关联和三元速度关联的表达式及它们各门的分量之间的关系式
UiUj'
=u2Rij
=衬-[f(门t)-g(r,t)]+g(r,t)%
2f(r,t)—2g(r,t)=-r
r3/2
gUjg=(U1)TiJk
k—h—2qhq
Tijk=EiEjEk^3+Sij&
7+f©
JcEj+Sjk)
他们还得到了均匀各向同性湍流的动力学方程式,即通常所说的Karman-Howarth方程
ddo/d2\Idk4k
—(u2f)=2vu2I—-7-^7I+()
t\dr2Jdrr
把这个方程式对r展开,取第一项就就得到Tayior的湍流衰变定律。
这个方程有两个未知量f»
k,两个未知函数只有一个方程,当然不能把f»
k都求出來,所以方
程是不封闭的。
和Reynolds方程一样,这个方程也是不能求解的。
这些不封闭性的原因都来源于流体动力学方程的非线性。
以后有很多人尝试引入某些假定來封闭这个方程并求解它,但都木能彻底解决这个问题。
数空间,得到一维湍谱函数E(kJ:
2
Et(kt)=—u2
n
1938年G.T.T.aylor引入一维湍谱。
他把速度关联冷叮用Fourier变换变到波
r00、
1d(Xi)f(Xi)cosktXi
f00
u2/(xf)=IdktE:
(&
)cosxt
丿0
他在这方面的开拓性工作最初也获得了实验的证明。
到1948年W.heisenberg乂把
量子力学中常用的三维湍谱引入
=jjjEijK认
87T3
%=f)e"
梅
Sy(£
,t)=ffljje航
式中
s"
t)="
)彎(心+%)
由于不可压缩流体的连续性条件,得到
_E(k,t)辿
Eij4加k25)
Fig°
=_罂£
)(kikj_k2%)
和物理空间的Karman-Howarth方程相对应,得到\湍流空间相应的方程
——E{k,t)=F{k,t)—2vk2E(k,t)t
式子E(k,r)和狂的关系为扌百可=扌碎=(k,t)dk°
W.Heisenberg为了求解,用最刚分析方法求出涡旋粘性系数,最后得到的方程为
式中r为一个常数。
Eass和Chandiasekliarm进彳J求Heisenberg方程。
Cliandraseklar求得与时间无关的准确解。
这个解在i/=0,Reynolds数无穷大时趋近于工亠&
E(k)〜0,这也是Heisenberg最初用近似方程得到的。
k8,V工0D
2.3具有剪应力的普通湍流理论
周培源教授在上世纪30年代初期就带领他的学生从事湍流理论研究匸作⑴。
在30年代木,他认识到Reynolds应力和物体儿何形状等边界条件密切相关,要找出Reynolds应力和粘性应力相似不随边界形状改变的应力形变关系式是不可能的。
因此他着重寻找Reynolds应力及关联函数所满足的方程0可,希望能在解Reynolds应力的方程时,把边界等影响作为积分常数(也就是初始条件和边界条件)自然地考虑进去。
1940年周培源教授/ANavier-Stokes方程减去Reynolds方程,得到速度涨落方程
1-7TT.P1
da)i
UfO)..+©
3..+©
11dt1nJ丿i,JJ
j=0,Ti,j=—p3gj
式中j为涨落速度,血为平均速度,s严Reynolds应力,兀为压力涨落。
再从速
度涨落方程得到Reyiiolds应力方程
及平均的三元涨落数度乘积方程
dd
a)iU)iO)k+吗3丫3斤31/・+u.:
3j3gi+Uk・3j3gti丿‘
+u±
.a)jO)ia)k+(930^3jf)
1
=+兀,严Wi+兀,花31叫
+^2(jij,严1+Tkj,jTl«
+Tlj,jTifc)
-2『+叭,4,m◎
+~"
m~+卩厂~O)7
同样也可以得到相应的二元速度关联和三元速度关联方程,他把四元速度关联用二元速度关联表出并分别给出二元速度关联和三元速度关样及床力速度关联的表达式,就能得到封闭的方程组。
对固体壁附近湍流和口由剪切湍流在各自的简化假定下曾得到不少和实验相符合的结果叨。
但这样做存在着关联系数表达式其有一定任意性的困难(这就是不同封闭方案的变形)。
而且在电子计算机还没有发展的40年代要严格求解这样多的方程是不可能的。
近年來由于高速电子计算机的产生,很多复杂的计算工作可以通过机器来完成。
周培源教授所做的理论研究乂被重新提了出來,并受到国际上很大的重视。
2.4最近的湍流统计理论
2・4・lE・Hopf理论㈣
1952年以研究遍历理论著名的概率论和数理统计学家E.Hopfffi据湍流脉动场的随机性质,引进脉动速度场的分布泛函。
然后从Navier-Stokes方程和连续方程,推导得到了一个对特征泛函数为线性的积分微分方程。
由于对这个方程求解遇到很大困难,以后一直没有取得什么进展。
2.4.2R.H.Kiaichnan直接相互作用理论
1958年RH.Kracichnan^11把外力作用卜的Na\der-Stokes方程经过Fourier变换,求得小扰动下Green函数所满足的方程。
然后再把速度和Green函
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