经典编排高中数学必修5第一章解三角形6篇同步练习+2篇章末检测+复习合集文档格式.docx
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经典编排高中数学必修5第一章解三角形6篇同步练习+2篇章末检测+复习合集文档格式.docx
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答案 C
解析 由正弦定理
,
得
,∴b=2
3.在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为( )
A.直角三角形B.等腰直角三角形
C.等边三角形D.等腰三角形
答案 A
解析 sin2A=sin2B+sin2C⇔(2R)2sin2A=(2R)2sin2B+(2R)2sin2C,即a2=b2+c2,由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形.
4.在△ABC中,若sinA>
sinB,则角A与角B的大小关系为( )
A.A>
BB.A<
B
C.A≥BD.A,B的大小关系不能确定
解析 由sinA>
sinB⇔2RsinA>
2RsinB⇔a>
b⇔A>
B.
5.在△ABC中,A=60°
,a=
,b=
,则B等于( )
A.45°
或135°
B.60°
C.45°
D.135°
解析 由
得sinB=
∵a>
b,∴A>
B,B<
60°
∴B=45°
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果c=
a,B=30°
,那么角C等于( )
A.120°
B.105°
C.90°
D.75°
解析 ∵c=
a,∴sinC=
sinA=
sin(180°
-30°
-C)
sin(30°
+C)=
即sinC=-
cosC.
∴tanC=-
又C∈(0°
,180°
),∴C=120°
二、填空题
7.在△ABC中,AC=
,BC=2,B=60°
,则C=_________.
答案 75°
解析 由正弦定理得
,∴sinA=
∵BC=2<
AC=
,∴A为锐角.∴A=45°
∴C=75°
8.在△ABC中,若tanA=
,C=150°
,BC=1,则AB=________.
答案
解析 ∵tanA=
,A∈(0°
),∴sinA=
由正弦定理知
∴AB=
9.在△ABC中,b=1,c=
,C=
,则a=________.
答案 1
解析 由正弦定理,得
∴sinB=
.∵C为钝角,
∴B必为锐角,∴B=
∴A=
∴a=b=1.
10.在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=2a,B=A+60°
,则A=______.
答案 30°
解析 ∵b=2a∴sinB=2sinA,又∵B=A+60°
∴sin(A+60°
)=2sinA
即sinAcos60°
+cosAsin60°
=2sinA,
化简得:
cosA,∴tanA=
,∴A=30°
三、解答题
11.在△ABC中,已知a=2
,A=30°
,B=45°
,解三角形.
解 ∵
∴b=
=4.
∵C=180°
-(A+B)=180°
-(30°
+45°
)=105°
∴c=
=2+2
12.在△ABC中,已知a=2
,b=6,A=30°
解 a=2
,b=6,a<
b,A=30°
<
90°
又因为bsinA=6sin30°
=3,a>
bsinA,
所以本题有两解,由正弦定理得:
sinB=
,故B=60°
或120°
当B=60°
时,C=90°
,c=
=4
;
当B=120°
时,C=30°
,c=a=2
所以B=60°
,C=90°
,c=4
或B=120°
,C=30°
,c=2
能力提升
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a=
,b=2,sinB+cosB=
,则角A的大小为________.
解析 ∵sinB+cosB=
sin(
+B)=
∴sin(
+B)=1.
又0<
B<
π,∴B=
由正弦定理,得sinA=
又a<
b,∴A<
B,∴A=
14.在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求
的取值范围.
解 在锐角三角形ABC中,A,B,C<
即
∴30°
45°
由正弦定理知:
=2cosB∈(
),
故
的取值范围是(
).
1.利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题:
(1)已知两角和任一边,求其它两边和一角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角.
2.已知两边和其中一边的对角,求第三边和其它两个角,这时三角形解的情况比较复杂,可能无解,可能一解或两解.例如:
已知a、b和A,用正弦定理求B时的各种情况.
A为锐角
a<
bsinA
a=bsinA
b
a≥b
无解
一解(直角)
两解(一锐角,
一钝角)
一解(锐角)
A为直角
或钝角
a≤b
a>
1.1.1 正弦定理
(二)
1.熟记正弦定理的有关变形公式;
2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明.
1.正弦定理:
=2R的常见变形:
(1)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c;
(2)
=2R;
(3)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;
(4)sinA=
,sinB=
,sinC=
2.三角形面积公式:
S=
absinC=
bcsinA=
casinB.
1.在△ABC中,sinA=sinB,则△ABC是( )
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
2.在△ABC中,若
,则△ABC是( )
A.直角三角形B.等边三角形
C.钝角三角形D.等腰直角三角形
答案 B
解析 由正弦定理知:
∴tanA=tanB=tanC,∴A=B=C.
3.在△ABC中,sinA=
,a=10,则边长c的取值范围是( )
B.(10,+∞)
C.(0,10)D.
解析 ∵
,∴c=
sinC.
∴0<
c≤
4.在△ABC中,a=2bcosC,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
解析 由a=2bcosC得,sinA=2sinBcosC,
∴sin(B+C)=2sinBcosC,
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,
∴sin(B-C)=0,∴B=C.
5.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC等于( )
A.6∶5∶4B.7∶5∶3
C.3∶5∶7D.4∶5∶6
解析 ∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,
∴
令
=k(k>
0),
则
,解得
∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.
6.已知三角形面积为
,外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积为( )
A.1B.2
C.
D.4
解析 设三角形外接圆半径为R,则由πR2=π,
得R=1,由S△=
,∴abc=1.
7.在△ABC中,已知a=3
,cosC=
,S△ABC=4
,则b=________.
答案 2
解析 ∵cosC=
,∴sinC=
absinC=4
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=60°
,b=1,则c=________.
,得
,故B=30°
或150°
.由a>
b,
得A>
B,∴B=30°
,故C=90°
由勾股定理得c=2.
9.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则
=________.
答案 7
解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R=2,
=2R=2,
=2+1+4=7.
10.在△ABC中,A=60°
,a=6
,b=12,S△ABC=18
=________,c=________.
答案 12 6
解析
=12.
∵S△ABC=
×
6
12sinC=18
∴sinC=
,∴
=12,∴c=6.
11.在△ABC中,求证:
证明 因为在△ABC中,
=2R,
所以左边=
=右边.
所以等式成立,即
12.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.
解 设三角形外接圆半径为R,则a2tanB=b2tanA
⇔
⇔sinAcosA=sinBcosB
⇔sin2A=sin2B
⇔2A=2B或2A+2B=π
⇔A=B或A+B=
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
13.在△ABC中,B=60°
,最大边与最小边之比为(
+1)∶2,则最大角为( )
C.75°
D.90°
解析 设C为最大角,则A为最小角,则A+C=120°
∴tanA=1,A=45°
,C=75°
14.在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若a=2,C=
cos
,求△ABC的面积S.
解 cosB=2cos2
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