完整版高一零点问题的解题方法Word格式文档下载.docx
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推广:
函数y=f(x)-g(x)有零点⇔方程f(x)-g(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)-g(x)的图象与y=0(即x轴)有交点.
推广的变形:
函数y=f(x)-g(x)有零点⇔方程f(x)=g(x)有实数根⇔函数y=f(x)的图象与y=g(x)有交点.
1.函数的零点是函数y=f(x)与x轴的交点吗?
是否任意函数都有零点?
提示:
函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点,而是y=f(x)与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数;
并非任意函数都有零点,只有f(x)=0有根的函数y=f(x)才有零点.
2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,一定有f(a)·
f(b)<
0吗?
不一定,如图所示,f(a)·
f(b)>
0.
3.若函数y=f(x)在区间(a,b)内,有f(a)·
0成立,那么y=f(x)在(a,b)内存在唯一的零点吗?
不一定,可能有多个.
(4)二次函数y=ax2+bx+c(a>
0)的图象与零点的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点,涉及题目的主要考向有:
1.函数零点的求解与所在区间的判断;
2.判断函数零点个数;
3.利用函数的零点求解参数及取值范围.
考向一、函数零点的求解与所在区间的判断
1.(2015·
温州十校联考)设f(x)=lnx+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
【解析】法一:
∵f
(1)=ln1+1-2=-1<0,f
(2)=ln2>0,∴f
(1)·
f
(2)<0,∵函数f(x)=lnx+x-2的图象是连续的,∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).
法二:
函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=lnx,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围,如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).
【答案】B
2.(2015·
西安五校联考)函数y=ln(x+1)与y=
的图象交点的横坐标所在区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
【解析】函数y=ln(x+1)与y=
的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x+1)-
的零点,∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f
(1)=ln2-1<0,f
(2)=ln3-
>0,∴f(x)的零点所在区间为(1,2).
3.函数f(x)=3x-7+lnx的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n=________.
【解析】求函数f(x)=3x-7+lnx的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如f
(2)=-1+ln2,由于ln2<lne=1,所以f
(2)<0,f(3)=2+ln3,由于ln3>1,所以f(3)>0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2.
【答案】2
4.(2015·
长沙模拟)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )
A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内
【解析】本题考查零点的存在性定理.依题意得f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-b)(c-a)>0,因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a,b)和(b,c)内.
【答案】A
5.(2014·
高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )
A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}
C.{2-
,1,3}D.{-2-
,1,3}
【解析】令x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-3(-x)]=-x2-3x.求函数g(x)=f(x)-x+3的零点等价于求方程f(x)=-3+x的解.当x≥0时,x2-3x=-3+x,解得x1=3,x2=1;
当x<0时,-x2-3x=-3+x,解得x3=-2-
.
【答案】D
确定函数f(x)零点所在区间的方法
(1)解方程法:
当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看解得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点的存在性定理:
首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·
f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:
通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
1.已知函数f(x)=
-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)
【解析】因为f
(1)=6-log21=6>0,f
(2)=3-log22=2>0,f(4)=
-log24=-
<0,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).
【答案】C
2.方程log3x+x=3的根所在的区间为( )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
方程log3x+x=3的根即是函数f(x)=log3x+x-3的零点,由于f
(2)=log32+2-3=log32-1<
0,f(3)=log33+3-3=1>
0且函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.
∴函数f(x)的零点即方程log3x+x=3的根所在区间为(2,3).
方程log3x+x=3的根所在区间即是函数y1=log3x与y2=3-x交点横坐标所在区间,两函数图象如图所示.由图知方程log3x+x=3的根所在区间为(2,3).
3.(2015·
武汉调研)设a1,a2,a3均为正数,λ1<λ2<λ3,则函数f(x)=
+
的两个零点分别位于区间( )
A.(-∞,λ1)和(λ1,λ2)内B.(λ1,λ2)和(λ2,λ3)内
C.(λ2,λ3)和(λ3,+∞)内D.(-∞,λ1)和(λ3,+∞)内
【解析】本题考查函数与方程.利用零点存在定理求解.当x∈(λ1,λ2)时,函数图象连续,且x→λ1,f(x)→+∞,x→λ2,f(x)→-∞,所以函数f(x)在(λ1,λ2)上一定存在零点;
同理当x∈(λ2,λ3)时,函数图象连续,且x→λ2,f(x)→+∞,x→λ3,f(x)→-∞,所以函数f(x)在(λ2,λ3)上一定存在零点,故选B.
考向二、判断函数零点个数
满足f(0)=1,且f(0)+2f(-1)=0,那么函数g(x)=f(x)+x的零点个数为________.
【解析】∵f(0)=1,∴c=1,又∵f(0)+2f(-1)=0,∴f(-1)=-1-b+1=-
,∴b=
.∴当x>0时,g(x)=2x-2=0有唯一解x=1;
当x≤0时,g(x)=-x2+
x+1,令g(x)=0得x=-
或x=2(舍去),
综上可知,g(x)=f(x)+x有2个零点.
【答案】 2
2.(2013·
高考天津卷)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
【解析】由f(x)=2x|log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=
x.
设g(x)=|log0.5x|,h(x)=
x,在同一坐标系下分别画出函数g(x),h(x)的图象,可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点.
高考天津卷)已知函数f(x)=
函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )
A.2 B.3
C.4D.5
【解析】分别画出函数f(x),g(x)的草图,观察发现有2个交点.
4.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是________.
【解析】由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象,如下:
观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.
【答案】4
判断函数零点个数的方法
令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理法:
利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·
f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.
转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
淄博期末)函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是________.
【解析】函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数,即为函数y=ln(x+1)与y=x-1图象的交点个数.在同一坐标系内分别作出函数y=ln(x+1)与y=x-1的图象,如图,
由图可知函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是2.
2.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=
则方程f(x)-g(x)=0在区间[-5,5]上的解的个数为( )
A.5B.7
C.8D.10
【解析】依题意得,函数f(x)是以2为周期的函数,在同一坐标系下画出函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象,
结合图象得,当x∈[-5,5]时,
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