云南民族大学附属中学届高三上学期期中考试数学理试题含答案文档格式.docx
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C.3D.5
5.阅读如右图所示的程序框图,输出的S值为
A.0B.1+
C.1+D.-1
6.若=,则tan2α=
A.-B.C.-D.
7.若,则下列结论正确的是
A.B.
C.D.
8.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为
A.14+2B.14+2
C.18D.20
9.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为
A.B.C.D.
10.点在椭圆上,,是椭圆的两个焦点,,且的三条边,,成等差数列,则此椭圆的离心率是
A.B.C.D.
11.在△ABC中,|+|=|-|,||=||=3,则·
的值为
A.3B.-3C.-D.
12.已知函数,,如果对于任意的,,都有成立,则实数的取值范围为
A.B.C.D.
第Ⅱ卷
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分)
13.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=.
14.P为曲线y=lnx上的一动点,Q为直线y=x+1上的一动点,则|PQ|的最小值是.
15.若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为.
16.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于.
三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin2A+sinAsinB-6sin2B=0.
(1)求的值;
(2)若cosC=,求sinB的值.
18.(本题满分12分)
某市需对某环城快速车道进行限速,为了调研该道路车速情况,于某个时段随机对100辆车的速度进行取样,测量的车速制成如下条形图:
经计算样本的平均值μ=85,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度,现规定车速小于μ-3σ或车速大于μ+2σ是需矫正速度.
(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个,求该车辆需矫正速度的概率;
(2)从样本中任取2辆车,求这2辆车均需矫正速度的概率;
(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个,记其中需矫正速度的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
19.(本题满分12分)
如图,四边形为菱形,,平面,
为中点.
(1)求证:
平面平面;
(2)求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值.
20.(本题满分12分)
已知F1,F2为椭圆E:
+=1(a>
b>
0)的左、右焦点,点P(1,)在椭圆E上,且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过F1的直线l1,l2分别交椭圆E于A,C和B,D,且l1⊥l2,问是否存在常数λ,使得,λ,成等差数列?
若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.
21.(本题满分12分)
已知函数f(x)=sinx-xcosx(x≥0).
(1)求函数f(x)在区间[0,2π]上的最大值;
(2)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)<
ax3恒成立,求实数a的取值范围.
请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本题满分10分)
【选修4-4:
坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:
y=x+2垂直,根据
(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
23.(本题满分10分)
【选修4-5:
不等式选讲】
已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式|x-1|<f(x);
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤+(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.
2016级高三(上)期中考试数学(答案)(理)
一.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
D
二.
13
14
15
16
-1
100
三.
17.解
(1)因为sin2A+sinAsinB-6sin2B=0,sinB≠0,
所以2+-6=0,得=2或=-3(舍去).
由正弦定理得==2.
(2)由余弦定理得cosC==.①
将=2,即a=2b代入①,得5b2-c2=3b2,
得c=b.
由余弦定理cosB=,得
cosB==,
则sinB==.
18.解:
(1)记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个,该车辆需矫正速度”.
因为μ-3σ=78.4,μ+2σ=89.4,
由样本条形图可知,所求的概率为P(A)=P(X<
μ-3σ)+P(X>
μ+2σ)=P(X<
78.4)+P(X>
89.4)=+=.
(2)记事件B为“从样本中任取2辆车,这2辆车均需矫正速度”.
由题设可知样本容量为100,又需矫正速度的个数为5辆车,
故所求概率为P(B)==.
(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布,即ξ~B,
∴P(ξ=0)=C02=,
P(ξ=1)=C11=,
P(ξ=2)=C20=,
因此ξ的分布列为
ξ
P
∴数学期望E(ξ)=2×
=.
19.
(1)证明:
如图3,连接AC交BD于O点,连接EO,
∵四边形ABCD是菱形,,
∵E为PC中点,
,
平面ABCD,平面ABCD,
平面BED,
∴平面平面ABCD.………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)解:
∵四边形ABCD是菱形,
平面ABCD,
,,
如图4,建立空间直角坐标系,…………………………………………(8分)
∵y轴⊥平面BED,
∴平面BED的法向量为.
设F为AB中点,连接CF,菱形ABCD的边长为,
则,平面PAB,
∴平面PAB的法向量为,
∴平面PBA与平面EBD所成二面角(锐角)的余弦值为.……………(12分)
20.解
(1)∵|PF1|+|PF2|=4,
∴2a=4,a=2.
∴椭圆E:
+=1.
将P(1,)代入可得b2=3,
∴椭圆E的方程为+=1.
(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时,+=+=;
②当AC的斜率k存在且k≠0时,AC的方程为y=k(x+1),
代入椭圆方程+=1,并化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),
则x1+x2=-,x1·
x2=.
|AC|=|x1-x2|
==.
∵直线BD的斜率为-,
∴|BD|==.
∴+=+=.
综上,2λ=+=,
∴λ=.
故存在常数λ=,使得,λ,成等差数列.
21.解:
(1)∵f′(x)=xsinx,
∴0<
x<
π时,f′(x)>
0,π<
2π时f′(x)<
∴f(x)在[0,π]上是增函数,在[π,2π]上是减函数
∴f(x)max=f(π)=π
(2)f(x)<
ax3⇒sinx-xcosx-ax3<
0.
令g(x)=sinx-xcosx-ax3,
则g′(x)=xsinx-3ax2=x(sinx-3ax),
又令h(x)=sinx-3ax,
则h′(x)=cosx-3a.
①当3a≤-1,即a≤-时,h′(x)≥0恒成立,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴h(x)>
h(0)=0,∴g′(x)>
0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)>
g(0)=0(不合题意).
②当3a≥1,即a≥时,h′(x)≤0,
∴h(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴h(x)<
h(0)=0,∴g′(x)<
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴g(x)<
g(0)=0(符合题意).
③当-1<
3a<
1,即-<
a<
时,由h′(0)=1-3a>
0,h′(π)=-1-3a<
∴在(0,π)上,∃x0使h′(x0)=0,
且x∈(0,x0)时,h′(x)>
0⇒g′(x)>
0,∴g(x)在(0,x0)上单调递增,
∴存在g(x)>
g(0)=0(不符合题意),
综上,a的取值范围为.
22.解
(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).4分
(2)设D(1+cost,sint),由
(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,
所以直线CD与l的斜率相同,tant=,t=.8分
故D的直角坐标为,
即.10分
23.解
(1)依题设,得|x-1|<|3x+2|,
所以(x-1)2<(3x+2)2,则x>-或x<-,
故原不等式的解集为.4分
(2)因为m+n=1(m>0,n>0),
所以+=(m+n)=2++≥4,
当且仅当m=n=时,等号成立.
令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|
=8分
则x=-时,g(x)取得最大值+a,
要使不等式恒成立,只需g(x)max=+a≤4.
解得a≤.
又a>0,因此0<a≤.10分
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- 云南 民族大学 附属中学 届高三 上学 期中考试 学理 试题 答案