人教版初中八年级数学上册134 课题学习 最短路径问题导学案Word文档下载推荐.docx
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一、知识链接
1.如图,连接A、B两点的所有连线中,哪条最短?
为什么?
2.如图,点P是直线l外一点,点P与该直线l上各点连接的所有线段中,哪条最短?
3.在我们前面的学习中,还有哪些涉及比较线段大小的基本事实?
(1)三角形的三边关系:
___________________________________;
(2)直角三角形中边的关系:
______________________________.
4.如图,如何作点A关于直线l的对称点?
1、要点探究
实际问题:
如图,牧马人从点A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
探究点1:
牧人饮马问题
数学问题:
如图,点A、B在直线l的同一侧,在直线l上求作一点C,使AC+BC最短.
想一想:
1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短?
2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,如何将点B“移”到l的另一侧B′处,满足直线l上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相等?
要点归纳:
(1)作点B关于直线l的对称点B′;
(2)连接AB′,与直线l相交于点C.
则点C即为所求.如图所示.
你能用所学的知识证明你所作的点C使AC+BC最短吗?
证明:
要点归纳:
在解决牧人饮马问题时,通常利用轴对称,把未知问题转化为已解决的问题,从而做出最短路径的选择.
典例精析
例1:
如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的
中点,AD=5,点F是AD边上的动点,则BF+EF的最小值为( )
A.7.5B.5C.4D.不能确定
方法总结:
此类求线段和的最小值问题,找准对称点是关键,而后将求线段长的和转化为求某一线段的长,而再根据已知条件求解.
例2:
如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,4)和
(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一
条直线上,当△ABC的周长最小时点C的坐标是( )
A.(0,3)B.(0,2)
C.(0,1)D.(0,0)
求三角形周长的最小值,先确定动点所在的直线和固定点,而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点,而后将其与另一固定点连线,连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
探究点2:
造桥选址问题
实际问题:
如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直
)?
数学问题:
如图,假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?
什么图形变换能帮助我们呢?
画一画:
(1)把A平移到岸边.
(2)把B平移到岸边.
(3)把桥平移到和A相连.(4)把桥平移到和B相连.
比一比:
(1)
(2)(3)(4)中,哪种作法使得AM+MN+BN最短?
如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短.
另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1.
针对训练
1.如图,直线l是一条河,P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的
是()
2.如图,一个旅游船从大桥AB
的P
处前往山脚下的Q
处接游客,然后将游客送往河岸BC
上,再返回P
处,请画出旅游船的最短路径.
3.如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.
(1)若要使厂址到A,B两村的距离相等,则应选择在哪建厂(要求:
保留作图痕迹,写出必
要的文字说明)?
(2)若要使厂址到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?
二、课堂小结
轴对称+线段公理
最短路径问题
平移
1.如图,直线m同侧有A、B两点,A、A′关于直线m对称,A、B关于直线n对称,直线m与A′B和n分别交于P、Q,下面的说法正确的是( )
A.P是m上到A、B距离之和最短的点,Q是m上到A、B距离相等的点
B.Q是m上到A、B距离之和最短的点,P是m上到A、B距离相等的点
C.P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点
D.P、Q都是m上到A、B距离相等的点
第1题图第2题图第3题图
2.如图,∠AOB=30°
,∠AOB内有一定点P,且OP=10.若在OA、OB上分别有动点Q、R,则△PQR周长的最小值是( )
A.10B.15C.20D.30
3.如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米,则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离是_____米.
4.如图,边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(3,2),B(1,3).点P在x轴上,当PA+PB的值最小时,在图中画出点P.
5.如图,荆州古城河在CC′处直角转弯,河宽相同,从A处到B处,须经两座桥:
DD′,EE′(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短?
拓展提升
6.
(1)如图1,在AB直线一侧C、D两点,在AB上找一点P,使C、D、P三点组成的三角形的周长最短,找出此点.
(2)如图2,在∠AOB内部有一点P,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短,找出E、F两点.
(3)如图3,在∠AOB内部有两点M、N,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、F、M、N,四点组成的四边形的周长最短,找出E、F两点.
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