高等数学解题步骤Word文件下载.docx
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例1:
设
,求
【解】:
(2)令
例2:
例3:
设有任意的
有
且
,证明:
当
时
【证明】:
(由已知)
(
2、求导数(复合函数、隐函数、参数方程导数、)
复合函数求导:
1)分解函数成简单函数。
2)写出复合函数的求导公式。
3)最后将中间变量回代。
例1、
隐函数求导:
1)写明等式两边同时对
求导。
2)利用复合函数的运算法则进行求导,遇含
的函数则先对
求导再乘以
。
3)解出
表达式。
4)如求
,则无需操作第3)步,只需将
代入2)中方程解得。
例1、方程
确定函数
(1)等式两边同时对
求导:
(3)
例2、方程
(1)当
(2)等式两边同时对
,将
代入方程得
参数方程
1)先分别求出
2)写出公式
,
3)进行整理(若要求二阶导数的话)
例1、设
(2)
,令
(3)
3、对数求导法:
适用于求幂指函数或多个因子的乘积或商的导数
1)等式两边同时取对数。
2)等式两边同时对
求导(利用隐函数求导方法,等式左边的
导数为
)。
3)整理,并将
的表达式代入。
(1)等式两边同时取对数:
(2)等式两边同时对
注:
若一函数不能直接用法则或上述方法求得,则将其分成若干个函数分别求
然后再用法则。
例2、设
不能直接用对数求导法
(1)设
由上题知
由复合函数求导
4、分段函数导数:
1)写出
在分段点处函数值。
2)利用左右导数的定义式求出分段点处的左右导数
;
3)其他点处直接用求导公式求,最后导函数写成分段函数
形式。
例1、设
及
不存在
(4)
5、高阶导数:
先求一阶,整理,然后逐阶求
;
同理
例3、设
6、求微分:
1)用上述步骤求出
2)写出微分公式
,再将
代入。
如求
,则
7、微分的近似计算:
1)将
化成
,(
为一很小的数),再设
2)求出
,进而求出
3)写出近似公式
进而将
代入进行计算。
4)如有现成近似计算公式,则可不必操作2),3)。
例1、求
例2、求
(1)利用公式:
很小时,
8、求切法线方程:
(1)写出切点。
(2)求出
,写出
=
,或
(此为隐函数形式)或
(此为参数方程形式)。
(3)写出切法线公式:
切线:
法线:
若
,则切线:
法线:
例1、求
在
处切法线方程
,故切点坐标为
(3)切线:
(2)此为隐函数求导:
三、应用题
1、分段函数在分段点处的连续性与可导性:
1)改写函数,写出其在分段点处的函数值。
2)连续性:
(1)分别求出
(2)验证
是否同时成立。
(3)若成立则函数在分段点处连续,有一式不成立就间断。
3)可导性:
(1)求出
成立否?
成立可导,不成立则不可导。
例1、设函数
,讨论其在
处的连续性与
可导性
(2)连续性:
1)
所以
处连续。
(3)可导性:
处可导。
2、实际应用题:
1)根据已知条件建立数学模型。
2)根据要求求出所需结果。
例题:
参见上课笔记
三、证明题
1、根的存在性:
1)先设函数:
将所证结论里的
换成
,再将方程整理使
其右边为0,左边的表达式即为辅助函数
或直接将已知条件中要证的方程整理使其右边为0,
左边的表达式即为辅助函数
2)写出区间
:
即结论中
的取值范围,注意必须写成闭区间。
3)说明:
上连续。
(无需证明)。
4)验证:
5)必须说明由“零点存在定理”知。
6)若要证根唯一:
证
单调性。
上连续且恒为正,证明:
对任意
必存在一点
,使得
2)区间取为
,因为
上连续,所以
也在
上连续,而
,所以
上也连续。
3)因为
上恒为正,所以有
于是
4)由零点定理:
内至少存在
使得
,即
例2:
证明方程
有且仅有一个实根。
【证明】:
1)直接设
2)
上连续
3)
由零点定理
上至少存在一个实根;
4)
在
内单调递增,
所以
内有且仅有一个实根。
1、罗尔定理:
1)找出
及区间
2)说明:
上连续,在
内可导(无需证明)。
3)验证:
(必须验证)。
4)必须说明由“罗尔定理”知。
上可导,且有
,证明至少存在一点
内,使
【证明】:
1)设
,区间取为
2)
内可导。
3)
,于是
满足罗尔定理,所以
至少存在一点
2、拉格朗日中值定理:
若证不等式:
3)说明由“拉格朗日中值定理”知。
4)讨论由
范围推得不等式成立。
若证一表达式恒为常数:
1)设该恒等式为
,区间
即为
取值范围。
3)验证
4)说明由“拉格朗日中值定理推论”知
5)在
内任取一定值
代入
中求的
此时求出的
必为要证的等式右边的常数。
例1:
时,有
【证】:
,区间为
内可导
3)由拉格朗日中值定理:
至少存在
,使
又
4)由
,由于
,所以有
例2、求证:
当
【证明】:
2)
4)由拉格朗日中值定理推论知
任取
,有
,于是有
内具有二阶导数,满足
试证:
为常数。
4)所以由拉格朗日定理推论,得
令
得
即
5)设
所以由拉格朗日定理推论,得
利用罗尔定理或拉格朗日定理证明时常见的辅助函数:
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